"""simuladores/estadistica/modelos/nivel_01/e02_poblacion_muestra.py — población y muestra (sección I, tema 2). EL modelo fundacional del laboratorio de estadística: toda la inferencia descansa en una idea — que una MUESTRA bien extraída lleva información sobre la POBLACIÓN entera. El modelo genera una población artificial (bimodal, NO normal, con μ y σ conocidos), extrae miles de muestras aleatorias de tamaño n, y muestra que la media muestral x̄ (1) se centra en μ (insesgada) y (2) se acerca a μ al crecer n (precisión ∝ σ/√n). Es la semilla del muestreo (sec. VI), del TCL (sec. V, e67) y de toda la inferencia (sec. VII). Aleatoriedad reproducible (semilla fija, convención del lab): las verificaciones dan el mismo número cada corrida. """ import numpy as np from base import Ecuacion, Escenario, Ficha, Modelo, Parametro, Verificacion import config # --- Población artificial conocida (bimodal → claramente no normal) --- _RNG_POB = np.random.default_rng(7) _POBLACION = np.concatenate([ _RNG_POB.normal(50, 8, 60000), # grupo mayoritario _RNG_POB.normal(76, 6, 40000), # segundo grupo → dos modas ]) _MU = float(_POBLACION.mean()) # parámetro poblacional (fijo, "desconocido") _SIGMA = float(_POBLACION.std()) _RANGO = (_MU - 3.6 * _SIGMA, _MU + 3.6 * _SIGMA) def _muestrear(n, reps=4000, semilla=2024): """Distribución muestral de x̄: `reps` medias de muestras aleatorias de n.""" rng = np.random.default_rng(semilla) idx = rng.integers(0, len(_POBLACION), size=(reps, int(n))) return _POBLACION[idx].mean(axis=1) def _densidad(datos, bins=70): d, bordes = np.histogram(datos, bins=bins, range=_RANGO, density=True) return (bordes[:-1] + bordes[1:]) / 2, d def _curvas(p): n = int(p["n"]) medias = _muestrear(n) xp, yp = _densidad(_POBLACION) xm, ym = _densidad(medias) se_teo = _SIGMA / np.sqrt(n) return {"lineas": {"población (bimodal, N grande)": (xp, yp, config.VERDE), f"medias muestrales x̄ (n = {n})": (xm, ym, config.AZUL2)}, "puntos": [(_MU, 0.0, f"μ = {_MU:.1f}")], "anotacion": (f"E[x̄] = {float(medias.mean()):.2f} ≈ μ = {_MU:.2f} (insesgada)\n" f"SD(x̄) = {float(medias.std()):.2f} ≈ σ/√n = {se_teo:.2f}\n" "más n → más estrecha (más precisa); ya casi normal (→ TCL, e67)")} def _resultados(p): n = int(p["n"]) medias = _muestrear(n) return {"μ poblacional (parámetro)": _MU, "σ poblacional": _SIGMA, "E[x̄]: media de las medias muestrales": float(medias.mean()), "SD(x̄): error estándar empírico": float(medias.std()), "σ/√n: error estándar teórico": _SIGMA / np.sqrt(n), "error medio |x̄− μ|": float(np.abs(medias - _MU).mean())} def _ecuaciones_calibradas(p): n = int(p["n"]) return [f"\\mu = {_MU:.1f}\\ \\text{{(parámetro, fijo)}}\\quad \\bar x\\ \\text{{(estadístico, varía)}}", f"E[\\bar x] = \\mu\\ \\text{{(insesgada)}}\\qquad SE(\\bar x) = \\sigma/\\sqrt{{n}} = {_SIGMA/np.sqrt(n):.2f}"] _P0 = {"n": 30} def _v_insesgada(): medias = _muestrear(30) err = abs(float(medias.mean()) - _MU) return err < 0.15 * _SIGMA, \ (f"la media de las medias muestrales E[x̄]={float(medias.mean()):.2f} coincide con μ={_MU:.2f} " f"(error {err:.3f} ≪ σ): x̄ es un estimador INSESGADO de μ — no se equivoca en promedio") def _v_error_estandar(): n = 30 medias = _muestrear(n) se_emp, se_teo = float(medias.std()), _SIGMA / np.sqrt(n) return abs(se_emp - se_teo) / se_teo < 0.08, \ (f"la dispersión de x̄ (SD={se_emp:.3f}) coincide con σ/√n={se_teo:.3f}: el ERROR ESTÁNDAR " "mide cuánto varía la media muestral de muestra a muestra — la fórmula clave de la precisión") def _v_mas_n_mas_preciso(): se_n = float(_muestrear(30).std()) se_4n = float(_muestrear(120).std()) # 4× el tamaño → mitad del error razon = se_n / se_4n return 1.8 < razon < 2.2, \ (f"cuadruplicar n (30→120) reduce el error estándar a la MITAD (razón {razon:.2f}≈2): la precisión " "crece con √n — para el doble de precisión hacen falta 4× datos (rendimientos decrecientes)") def _v_representatividad(): # con n grande, una sola muestra ya representa muy bien a la población una_muestra_media = float(_muestrear(500, reps=1, semilla=99)[0]) return abs(una_muestra_media - _MU) < 0.15 * _SIGMA, \ (f"con n=500 una SOLA muestra da x̄={una_muestra_media:.2f}, casi igual a μ={_MU:.2f}: una muestra " "grande y aleatoria REPRESENTA a la población — probar la sopa con una cucharada (bien revuelta)") MODELO = Modelo( id="e02", nivel=1, nombre="Población y muestra", xlabel="valor", ylabel="densidad", parametros=[ Parametro("n", _P0["n"], 5, 500, 5, "Tamaño de muestra n", grupo="muestreo", definicion="cuántas observaciones se extraen; la precisión crece con √n"), ], curvas=_curvas, resultados=_resultados, ecuaciones_calibradas=_ecuaciones_calibradas, ficha=Ficha( pregunta="¿Una muestra pequeña puede representar a toda una población — y cuánto nos equivocamos al usar la parte por el todo?", variables=[("N, μ, σ", "población: su tamaño y sus PARÁMETROS (fijos, desconocidos)"), ("n", "tamaño de la muestra"), ("x̄, s", "ESTADÍSTICOS de la muestra (aleatorios: cambian con cada muestra)"), ("SE = σ/√n", "error estándar: cuánto varía x̄ de muestra a muestra")], derivacion=["\\text{población } \\{x_1,\\dots,x_N\\} \\text{ con media } \\mu, \\text{ desv. } \\sigma", "\\text{muestra aleatoria de } n \\;\\Rightarrow\\; \\bar x = \\tfrac{1}{n}\\sum_{i=1}^{n} x_i", "E[\\bar x] = \\mu \\quad (\\text{insesgada})", "\\mathrm{Var}(\\bar x) = \\dfrac{\\sigma^2}{n} \\;\\Rightarrow\\; \\mathrm{SE}(\\bar x) = \\dfrac{\\sigma}{\\sqrt n}"], contexto=("Toda la estadística inferencial nace de una idea audaz: que no " "hace falta medir a TODOS para saber algo confiable sobre el " "conjunto — que una MUESTRA bien extraída lleva información sobre " "la POBLACIÓN entera. Durante siglos, conocer una población " "significó censarla (contar a cada uno), una tarea cara y lenta. " "El giro llegó cuando se entendió que una parte, si se elige SIN " "SESGO (al azar), es un espejo fiel del todo. Laplace ya estimó la " "población de Francia en 1786 a partir de una muestra de " "parroquias; un siglo después, Anders Kiaer formalizó el " "'muestreo representativo' y desató la revolución del muestreo que " "hizo posibles las encuestas modernas. Este modelo lo muestra con " "una población artificial que conocemos por completo: es BIMODAL " "(dos grupos, claramente NO normal), con media μ y desviación σ " "conocidas. De ella extraemos miles de muestras aleatorias de " "tamaño n y observamos la media muestral x̄. Aparecen dos hechos " "que fundan todo lo que sigue. Primero, x̄ se CENTRA en μ: en " "promedio, la muestra no se equivoca (es INSESGADA). Segundo, x̄ " "no es exacta —cada muestra da un valor algo distinto—, pero su " "variabilidad es medible y CONOCIDA: el error estándar σ/√n, que " "encoge al crecer n. Con n pequeño, x̄ baila mucho alrededor de μ; " "con n grande, se pega a μ. La distinción central que hay que " "grabar: μ es un PARÁMETRO (fijo, propio de la población, que casi " "nunca conocemos) y x̄ es un ESTADÍSTICO (que calculamos de la " "muestra y que ESTIMA a μ). Confundirlos es el error conceptual " "más común de la estadística. Y un adelanto hermoso: aunque la " "población sea bimodal, la distribución de x̄ ya se ve acampanada " "—el Teorema Central del Límite (e67) asomando—."), autores=("Pierre-Simon Laplace (estimación por muestreo, 1786); Anders " "Kiaer (muestreo representativo, 1895); Jerzy Neyman (teoría del " "muestreo, 1934) — menciones históricas, no citas de página. La " "distinción parámetro/estadístico y el error estándar: teoría del " "muestreo (conocimiento estadístico general)."), supuestos=[ "Muestreo ALEATORIO simple: cada unidad de la población tiene la misma probabilidad de ser elegida (sin sesgo de selección).", "La población es fija y conocida SOLO en este laboratorio (para poder comparar x̄ con μ); en la práctica μ y σ son desconocidos — por eso se estiman.", "Las observaciones se extraen de forma independiente; el tamaño de la población es mucho mayor que n (muestreo con reemplazo ≈ sin reemplazo).", ], ecuaciones=[ Ecuacion("\\bar x = \\tfrac{1}{n}\\sum_{i=1}^n x_i", "media muestral (estadístico)", "el promedio de la muestra; VARÍA de una muestra a otra — es una variable aleatoria, " "a diferencia de μ, que es un número fijo de la población."), Ecuacion("E[\\bar x] = \\mu", "insesgadez", "en promedio, sobre todas las muestras posibles, la media muestral acierta el " "parámetro: x̄ no se equivoca sistemáticamente hacia arriba ni hacia abajo."), Ecuacion("SE(\\bar x) = \\sigma/\\sqrt{n}", "error estándar", "cuánto se dispersa x̄ alrededor de μ; encoge con √n — la ley cuantitativa de que " "más datos dan más precisión (pero con rendimientos decrecientes)."), ], intuicion=("La imagen es la de probar una olla de sopa: si está BIEN " "REVUELTA, una sola cucharada basta para saber si le falta sal —no " "hace falta tomarse toda la olla—. 'Bien revuelta' es la clave, y " "significa ALEATORIA: si la cuchara siempre toma del mismo rincón " "(muestreo sesgado), la cucharada engaña por más grande que sea. " "El laboratorio hace visible lo que la intuición sospecha: una " "muestra aleatoria es un espejo del todo, imperfecto pero honesto. " "El error estándar σ/√n pone número a esa imperfección, y su " "forma —dividir por √n, no por n— tiene una consecuencia práctica " "enorme: para DUPLICAR la precisión no basta el doble de datos, " "hacen falta CUATRO veces más. Por eso una encuesta nacional bien " "hecha de 1.200 personas puede describir a un país de millones con " "un margen de error de ±3%: no es magia, es σ/√n. Y por eso el " "tamaño de la muestra importa muchísimo hasta cierto punto y " "después poco: pasar de 100 a 400 encuestados vale la pena; de " "10.000 a 40.000, casi nunca. Grabar la diferencia entre el " "PARÁMETRO que buscamos (μ) y el ESTADÍSTICO que calculamos (x̄) " "es el primer paso de todo pensamiento estadístico serio."), equilibrio=("No hay equilibrio: hay convergencia. La media muestral x̄ es " "insesgada (E[x̄]=μ) y su error estándar σ/√n → 0 cuando n → ∞; " "es decir, x̄ converge a μ (ley de los grandes números, e64). La " "distribución de x̄ además tiende a la normal (TCL, e67)."), limitaciones=[ "Todo se apoya en la ALEATORIEDAD del muestreo: un muestreo sesgado (no aleatorio) rompe la insesgadez —x̄ deja de estimar μ— sin importar cuán grande sea n (sesgo de selección, sec. VI).", "μ y σ son conocidos SOLO aquí (para poder comparar); en la práctica se estiman de la propia muestra, lo que añade incertidumbre (la 's' en vez de σ lleva a la t de Student, e62).", "El error estándar σ/√n mide variabilidad aleatoria, NO sesgo: reduce el error por azar, jamás el error por mala medición o por una muestra torcida.", ], evolucion=("Es la raíz del laboratorio. La sec. II (descriptiva, e17+) " "calcula x̄, s y compañía; la sec. V (e64 LGN, e67 TCL) explica " "POR QUÉ x̄ converge a μ y por qué se vuelve normal; la sec. VI " "(muestreo) estudia cómo extraer bien la muestra; y la sec. VII " "(inferencia) usa el error estándar para construir intervalos de " "confianza y pruebas de hipótesis. Todo cuelga de aquí."), ), escenarios=[ Escenario("muestra_pequena", "muestra pequeña (n = 10): x̄ baila mucho", {"n": 10}, "con n=10 la distribución de x̄ es ancha: cada muestra puede caer " "bastante lejos de μ. Poca información, mucha incertidumbre — el " "error estándar σ/√n es grande.", cadena=["n pequeño (10)", "error estándar σ/√n grande", "x̄ varía mucho de muestra a muestra", "una sola muestra puede engañar"]), Escenario("muestra_grande", "muestra grande (n = 200): x̄ se pega a μ", {"n": 200}, "con n=200 la distribución de x̄ es estrecha y acampanada, muy " "concentrada en μ: la muestra representa fielmente a la población. " "El error estándar cayó por el factor √n.", cadena=["n grande (200)", "error estándar σ/√n pequeño", "x̄ se concentra en μ (representativa)", "poca incertidumbre — y ya casi normal (TCL)"]), ], verificaciones=[ Verificacion("x̄ es insesgada: E[x̄] = μ", _v_insesgada), Verificacion("error estándar SD(x̄) = σ/√n", _v_error_estandar), Verificacion("cuadruplicar n reduce el error a la mitad (√n)", _v_mas_n_mas_preciso), Verificacion("una muestra grande representa a la población", _v_representatividad), ], notas="El modelo fundacional: x̄ estima μ, es insesgada (E[x̄]=μ) y su precisión es σ/√n. Parámetro (μ, fijo) ≠ estadístico (x̄, aleatorio). Todo el resto del currículo cuelga de aquí.", )