"""simuladores/estadistica/modelos/nivel_02/e17_media_aritmetica.py — la media aritmética (sección II, tema 17). El primer estadístico descriptivo, y más profundo de lo que parece. La media no es "la fórmula de sumar y dividir": es el CENTRO DE MASA de los datos (las desviaciones a un lado y otro se cancelan exactamente, Σ(xᵢ−x̄)=0) y el punto que MINIMIZA la suma de errores al cuadrado (x̄ = argmin_a Σ(xᵢ−a)²). Esta segunda propiedad es la semilla de los mínimos cuadrados y de toda la regresión (sec. XI): la media es la "regresión sin predictores". El modelo deja mover un candidato de centro `a` y ver que el error cuadrático es mínimo justo en x̄. """ import numpy as np from base import Ecuacion, Escenario, Ficha, Modelo, Parametro, Verificacion import config _DATOS = np.array([3, 5, 6, 8, 9, 11, 14], float) # n=7, suma=56, x̄=8.0 (media limpia) _XBAR = float(_DATOS.mean()) _N = len(_DATOS) def _sse(a): return float(np.sum((_DATOS - a) ** 2)) def _curvas(p): a = p["a"] grid = np.linspace(_XBAR - 6, _XBAR + 6, 120) sse = np.array([_sse(x) for x in grid]) return {"lineas": {"error cuadrático total $\\sum (x_i-a)^2$": (grid, sse, config.AZUL2)}, "puntos": [(_XBAR, _sse(_XBAR), f"mínimo en x̄ = {_XBAR:.1f}"), (a, _sse(a), f"tu a = {a:.1f}")] + [(float(x), 0.0, "") for x in _DATOS], "anotacion": (f"datos: {', '.join(str(int(x)) for x in _DATOS)} → x̄ = {_XBAR:.1f}\n" f"$\\sum (x_i-\\bar x) = 0$ (centro de masa)\n" f"x̄ MINIMIZA el error cuadrático: SSE(x̄)={_sse(_XBAR):.0f} ≤ SSE(a)={_sse(a):.0f}")} def _resultados(p): a = p["a"] return {"media x̄": _XBAR, "n": float(_N), "suma Σxᵢ": float(_DATOS.sum()), "n·x̄ (= Σxᵢ)": float(_N * _XBAR), "Σ(xᵢ−x̄) (desviaciones)": float(np.sum(_DATOS - _XBAR)), "SSE en tu a: Σ(xᵢ−a)²": _sse(a), "SSE en x̄ (mínimo)": _sse(_XBAR)} def _ecuaciones_calibradas(p): return [f"\\bar x = \\frac{{1}}{{{_N}}}\\sum x_i = \\frac{{{int(_DATOS.sum())}}}{{{_N}}} = {_XBAR:.1f}", f"\\sum (x_i-\\bar x) = 0 \\qquad \\bar x = \\arg\\min_a \\sum (x_i-a)^2\\ \\text{{(mínimos cuadrados)}}"] _P0 = {"a": 8.0} def _v_desviaciones_cero(): s = float(np.sum(_DATOS - _XBAR)) return abs(s) < 1e-9, \ (f"la suma de las desviaciones respecto a la media es EXACTAMENTE cero (Σ(xᵢ−x̄)={s:.2e}): " "la media es el CENTRO DE MASA — lo que sobra a un lado falta al otro, se equilibra") def _v_suma(): return abs(float(_DATOS.sum()) - _N * _XBAR) < 1e-9, \ (f"Σxᵢ = n·x̄ (={int(_DATOS.sum())} = {_N}×{_XBAR:.1f}): la media reparte el total por igual entre las " "n observaciones — es el 'valor equitativo' que todos tendrían si el total se repartiera parejo") def _v_minimiza_sse(): # x̄ es el argmin de Σ(xᵢ−a)²: SSE sube a ambos lados mejor = _sse(_XBAR) peor_izq, peor_der = _sse(_XBAR - 0.5), _sse(_XBAR + 0.5) grid = np.linspace(_XBAR - 6, _XBAR + 6, 2401) argmin = grid[int(np.argmin([_sse(x) for x in grid]))] return mejor < peor_izq and mejor < peor_der and abs(argmin - _XBAR) < 0.01, \ (f"la media MINIMIZA la suma de errores al cuadrado: argmin_a Σ(xᵢ−a)² = {argmin:.2f} = x̄ = {_XBAR:.1f}. " "Es la semilla de los mínimos cuadrados y la regresión (sec. XI): la media es la regresión sin predictores") def _v_sensible_atipico(): # añadir un dato extremo mueve la media (x̄' = (Σx + z)/(n+1)); 0% de robustez z = 100.0 x_nuevo = float((_DATOS.sum() + z) / (_N + 1)) predicho = float((_DATOS.sum() + z) / (_N + 1)) return x_nuevo > _XBAR + 5 and abs(x_nuevo - predicho) < 1e-9, \ (f"un solo dato extremo (100) arrastra la media de {_XBAR:.1f} a {x_nuevo:.1f}: la media NO es robusta " "(punto de ruptura 0%) — un outlier la mueve sin límite. Por eso existe la mediana (e18) y las medidas robustas (e32)") MODELO = Modelo( id="e17", nivel=2, nombre="La media aritmética", xlabel="candidato de centro a", ylabel="error cuadrático total", parametros=[ Parametro("a", _P0["a"], 2.0, 14.0, 0.5, "Candidato de centro a", grupo="descriptiva", definicion="valor de prueba; el error cuadrático Σ(xᵢ−a)² es mínimo en a=x̄"), ], curvas=_curvas, resultados=_resultados, ecuaciones_calibradas=_ecuaciones_calibradas, ficha=Ficha( pregunta="¿Qué es exactamente 'el promedio' — y por qué es el mejor resumen de un conjunto de datos… salvo cuando no lo es?", variables=[("x₁,…,xₙ", "los datos"), ("x̄", "media aritmética = suma / n"), ("a", "un candidato cualquiera de 'centro' (para compararlo con x̄)"), ("Σ(xᵢ−a)²", "error cuadrático total respecto a a")], derivacion=["\\bar x = \\frac{1}{n}\\sum_{i=1}^n x_i", "\\text{minimizar } S(a)=\\sum (x_i-a)^2 \\Rightarrow S'(a) = -2\\sum (x_i-a) = 0", "\\Rightarrow \\sum x_i - n a = 0 \\Rightarrow a = \\frac{1}{n}\\sum x_i = \\bar x", "\\text{y en el óptimo } \\sum (x_i-\\bar x) = 0 \\;(\\text{desviaciones se cancelan})"], contexto=("La media aritmética es el estadístico más antiguo y más usado, y " "su historia está ligada a un problema práctico: los astrónomos de " "los siglos XVIII-XIX tomaban varias mediciones de la posición de " "un astro —todas ligeramente distintas por el error de " "observación— y necesitaban UN número que fuera la 'mejor " "estimación' del valor verdadero. Promediarlas resultó ser esa " "mejor estimación, y entender POR QUÉ llevó a uno de los " "resultados más fértiles de la matemática aplicada. La media tiene " "dos propiedades que la definen mucho mejor que 'sumar y dividir'. " "La primera: es el CENTRO DE MASA de los datos. Si uno imagina " "cada dato como un peso sobre una regla, la media es el punto donde " "la regla se equilibra —las desviaciones hacia la izquierda " "cancelan exactamente las de la derecha, Σ(xᵢ−x̄)=0—. La segunda, " "más profunda: la media es el valor que MINIMIZA la suma de los " "errores al CUADRADO. De todos los números que uno podría proponer " "como 'centro', x̄ es el que deja el menor Σ(xᵢ−a)². Esto no es una " "curiosidad: es la semilla de los MÍNIMOS CUADRADOS de Gauss y " "Legendre, y por lo tanto de toda la regresión (sec. XI). De " "hecho, la media es literalmente 'la regresión sin variables " "explicativas': el mejor pronóstico constante de una variable, en " "el sentido de mínimo error cuadrático, es su media. Pero esa " "misma virtud —usar el cuadrado del error— es su talón de Aquiles: " "un solo dato extremo, elevado al cuadrado, pesa muchísimo, y " "arrastra la media lejos del grueso de los datos. La media no es " "ROBUSTA (un outlier la mueve sin límite), y de esa fragilidad " "nacen la mediana (e18) y las medidas robustas (e32)."), autores=("La media como estimación del 'valor verdadero': astronomía de " "observación (s. XVIII); la propiedad de mínimos cuadrados: " "Legendre (1805) y Gauss (1809) — menciones históricas. El centro " "de masa y la minimización: cálculo y estadística descriptiva " "(conocimiento general)."), supuestos=[ "Datos numéricos (cuantitativos) en escala de intervalo o razón: promediar exige que las distancias tengan sentido (no se promedian categorías, e05).", "Todas las observaciones pesan igual (media SIMPLE); si pesaran distinto sería la media ponderada (e20).", "El interés es un resumen de tendencia central bajo pérdida CUADRÁTICA: minimizar el error al cuadrado es una elección (bajo error absoluto, el óptimo es la mediana, e18).", ], ecuaciones=[ Ecuacion("\\bar x = \\tfrac{1}{n}\\sum_{i=1}^n x_i", "la media", "la suma de los datos repartida entre n: el 'valor equitativo' que cada observación " "tendría si el total se distribuyera por igual."), Ecuacion("\\sum_{i=1}^n (x_i - \\bar x) = 0", "centro de masa", "las desviaciones respecto a la media suman cero exactamente: lo que sobra de un lado " "falta del otro — la media es el punto de equilibrio de los datos."), Ecuacion("\\bar x = \\arg\\min_a \\sum (x_i - a)^2", "mínimos cuadrados", "de todos los centros posibles, la media es el que minimiza el error cuadrático total: " "la raíz de la regresión (sec. XI) — la media es la regresión sin predictores."), ], intuicion=("Dos imágenes fijan la media. La primera es un balancín: los " "datos son niños sentados a distintas distancias del centro, y la " "media es el punto donde el balancín queda horizontal —el peso a " "un lado equilibra al del otro—. Por eso Σ(xᵢ−x̄)=0 no es un " "accidente algebraico: es la condición de equilibrio. La segunda " "imagen es la de un blanco: si uno tuviera que apostar UN número " "y lo penalizaran por el CUADRADO de lo lejos que quede de cada " "dato, la apuesta óptima es la media. Cambiar la regla del juego " "cambia la respuesta: si lo penalizaran por la distancia ABSOLUTA " "(no al cuadrado), la apuesta óptima sería la MEDIANA (e18) —por " "eso mean y median resuelven problemas distintos, no son dos " "recetas para lo mismo—. Y la lección de fondo, que se repetirá " "en todo el laboratorio: elevar al cuadrado premia el consenso " "pero castiga con brutalidad los valores extremos, así que la " "media es exquisitamente sensible a los outliers. Es el mejor " "resumen cuando los datos son razonablemente simétricos y sin " "atípicos; cuando no, engaña —el ingreso 'promedio' de una sala " "con diez personas normales y un multimillonario no describe a " "nadie—."), equilibrio=("La media es la solución única de dos problemas: el equilibrio " "(Σ(xᵢ−x̄)=0) y la minimización del error cuadrático " "(x̄=argmin Σ(xᵢ−a)²). Ambos dan el mismo punto porque la " "condición de primer orden del segundo ES el primero. Su punto " "de ruptura es 0%: un solo outlier la mueve sin cota."), limitaciones=[ "NO es robusta: un único valor extremo la arrastra sin límite (punto de ruptura 0%) — por el peso del cuadrado. Con outliers o asimetría fuerte, engaña (usar la mediana, e18).", "Exige datos cuantitativos con distancias significativas: no tiene sentido para variables ordinales o nominales (e04-e05).", "Resume, y al resumir OCULTA: dos conjuntos muy distintos pueden tener la misma media; hay que acompañarla de una medida de dispersión (varianza, e27) y mirar la forma.", ], evolucion=("Abre la estadística descriptiva. La mediana (e18) responde al " "mismo problema bajo error absoluto y es robusta; la moda (e19) " "para lo más frecuente; la media ponderada (e20) cuando los pesos " "difieren. Su fragilidad ante atípicos motiva las medidas " "robustas (e32-e33). Y su propiedad de mínimos cuadrados reaparece " "como el corazón de la regresión (e131+, β̂ minimiza Σ de " "residuos al cuadrado) — la media es el caso más simple de esa " "idea."), ), escenarios=[ Escenario("centro_alto", "probar un centro demasiado alto (a = 11)", {"a": 11.0}, "con a=11 el error cuadrático sube respecto al mínimo: proponer un " "centro por encima de la media deja más error total. La parábola " "SSE(a) sube a ambos lados de x̄.", cadena=["elegir a = 11 (> x̄)", "las desviaciones ya no se cancelan (Σ(xᵢ−a)<0)", "el error cuadrático Σ(xᵢ−a)² aumenta", "solo a = x̄ lo minimiza"]), Escenario("centro_bajo", "probar un centro demasiado bajo (a = 5)", {"a": 5.0}, "con a=5 (por debajo de x̄) el error cuadrático también sube: el " "mínimo está exactamente en la media, no antes ni después.", cadena=["elegir a = 5 (< x̄)", "las desviaciones no se cancelan (Σ(xᵢ−a)>0)", "el error cuadrático aumenta", "confirma que x̄ es el único mínimo"]), ], verificaciones=[ Verificacion("las desviaciones suman cero: Σ(xᵢ−x̄)=0", _v_desviaciones_cero), Verificacion("Σxᵢ = n·x̄ (reparto equitativo)", _v_suma), Verificacion("x̄ minimiza el error cuadrático (mínimos cuadrados)", _v_minimiza_sse), Verificacion("la media NO es robusta (un outlier la arrastra)", _v_sensible_atipico), ], notas="La media es el centro de masa (Σ(xᵢ−x̄)=0) y el minimizador del error cuadrático (x̄=argmin Σ(xᵢ−a)²) — la semilla de la regresión. Pero punto de ruptura 0%: un outlier la arrastra (→ mediana e18, robustas e32).", )