"""simuladores/estadistica/modelos/nivel_02/e18_mediana.py — la mediana (sección II, tema 18). La contraparte robusta de la media. Si la media (e17) minimiza el error CUADRÁTICO (Σ(xᵢ−a)²) y es su talón de Aquiles ante outliers, la mediana minimiza el error ABSOLUTO (Σ|xᵢ−a|) y es inmune a ellos: parte los datos en dos mitades y no le importa CUÁNTO de lejos está el valor extremo, solo de qué lado. Punto de ruptura 50% (hay que corromper la mitad de los datos para moverla). El modelo deja mover un candidato `a` y ver que el error absoluto es mínimo en la mediana — la "V" que contrasta con la parábola de la media. """ import numpy as np from base import Ecuacion, Escenario, Ficha, Modelo, Parametro, Verificacion import config _DATOS = np.array([4, 5, 6, 7, 8, 9, 40], float) # n=7, mediana=7, media≈11.3 (un outlier: 40) _MEDIANA = float(np.median(_DATOS)) _MEDIA = float(_DATOS.mean()) _N = len(_DATOS) def _l1(a): return float(np.sum(np.abs(_DATOS - a))) def _curvas(p): a = p["a"] grid = np.linspace(1, 15, 200) l1 = np.array([_l1(x) for x in grid]) return {"lineas": {"error absoluto total $\\sum |x_i-a|$": (grid, l1, config.ROJO)}, "puntos": [(_MEDIANA, _l1(_MEDIANA), f"mínimo en mediana = {_MEDIANA:.0f}"), (a, _l1(a), f"tu a = {a:.1f}")] + [(float(x), 0.0, "") for x in _DATOS if x <= 15], "anotacion": (f"datos: {', '.join(str(int(x)) for x in _DATOS)}\n" f"mediana = {_MEDIANA:.0f} parte en dos mitades; media = {_MEDIA:.1f} (arrastrada por el 40)\n" f"la mediana MINIMIZA el error absoluto: |·| en {_MEDIANA:.0f}, no {_MEDIA:.1f}")} def _resultados(p): a = p["a"] return {"mediana": _MEDIANA, "media (comparación)": _MEDIA, "datos por debajo de la mediana": float(np.sum(_DATOS < _MEDIANA)), "datos por encima": float(np.sum(_DATOS > _MEDIANA)), "error absoluto en tu a: Σ|xᵢ−a|": _l1(a), "error absoluto en la mediana (mínimo)": _l1(_MEDIANA), "|media − mediana| (efecto del outlier)": abs(_MEDIA - _MEDIANA)} def _ecuaciones_calibradas(p): return [f"\\text{{mediana}} = {_MEDIANA:.0f}\\qquad \\text{{media}} = {_MEDIA:.1f}\\ \\text{{(arrastrada por el outlier)}}", f"\\text{{mediana}} = \\arg\\min_a \\sum |x_i-a|\\qquad \\text{{ruptura}} = 50\\%"] _P0 = {"a": 7.0} def _v_parte_en_dos(): debajo = int(np.sum(_DATOS < _MEDIANA)) encima = int(np.sum(_DATOS > _MEDIANA)) return debajo == encima, \ (f"la mediana ({_MEDIANA:.0f}) parte los datos en dos mitades iguales: {debajo} por debajo y {encima} " "por encima — es el valor central, el que deja la mitad a cada lado (percentil 50, e24)") def _v_minimiza_l1(): grid = np.linspace(1, 20, 3801) argmin = grid[int(np.argmin([_l1(x) for x in grid]))] return abs(argmin - _MEDIANA) < 0.02, \ (f"la mediana MINIMIZA el error absoluto: argmin_a Σ|xᵢ−a| = {argmin:.2f} = mediana = {_MEDIANA:.0f}. " "Igual que la media minimiza el error CUADRÁTICO (e17), pero con |·| en vez de (·)² — otra pérdida, otro óptimo") def _v_robusta(): # mover el outlier 40 → 400 no cambia la mediana (punto de ruptura 50%) datos_peor = _DATOS.copy(); datos_peor[-1] = 400.0 med_peor = float(np.median(datos_peor)) return med_peor == _MEDIANA, \ (f"llevar el outlier de 40 a 400 NO mueve la mediana (sigue en {_MEDIANA:.0f}): es ROBUSTA, punto de " "ruptura 50% — a la mediana solo le importa de qué LADO está el dato, no cuán lejos (a la media sí, e17)") def _v_vs_media_sesgo(): return abs(_MEDIA - _MEDIANA) > 3, \ (f"con un outlier, media ({_MEDIA:.1f}) y mediana ({_MEDIANA:.0f}) DIVERGEN: la media se va tras el 40, " "la mediana se queda con el grueso — por eso el 'ingreso mediano' describe mejor a la gente típica que el 'promedio'") MODELO = Modelo( id="e18", nivel=2, nombre="La mediana", xlabel="candidato de centro a", ylabel="error absoluto total", parametros=[ Parametro("a", _P0["a"], 1.0, 15.0, 0.5, "Candidato de centro a", grupo="descriptiva", definicion="valor de prueba; el error absoluto Σ|xᵢ−a| es mínimo en la mediana"), ], curvas=_curvas, resultados=_resultados, ecuaciones_calibradas=_ecuaciones_calibradas, ficha=Ficha( pregunta="Cuando hay un dato extremo, ¿por qué la mediana describe mejor 'lo típico' que el promedio?", variables=[("x₍₁₎…x₍ₙ₎", "los datos ordenados"), ("mediana", "el valor central: parte la muestra en dos mitades"), ("a", "candidato de centro (para ver qué minimiza la mediana)"), ("Σ|xᵢ−a|", "error absoluto total respecto a a")], derivacion=["\\text{ordenar los datos: } x_{(1)} \\leq \\dots \\leq x_{(n)}", "n \\text{ impar}: \\; \\text{mediana} = x_{((n+1)/2)} \\;(\\text{el del medio})", "n \\text{ par}: \\; \\text{mediana} = \\tfrac{1}{2}\\big(x_{(n/2)} + x_{(n/2+1)}\\big)", "\\text{propiedad}: \\; \\text{mediana} = \\arg\\min_a \\sum |x_i-a|"], contexto=("La mediana responde a la misma pregunta que la media —¿cuál es el " "'centro' de estos datos?— pero con una regla del juego distinta, y " "esa diferencia lo cambia todo cuando hay valores extremos. La " "media minimiza el error al CUADRADO, y elevar al cuadrado hace que " "un dato lejano pese enormemente: por eso un solo millonario " "dispara el ingreso 'promedio' de un barrio pobre a una cifra que " "no describe a nadie. La mediana, en cambio, minimiza el error " "ABSOLUTO (sin elevar al cuadrado), y al no castigar la magnitud " "de la distancia sino solo el LADO, es indiferente a cuán " "estrafalario sea el outlier. Operativamente es el valor que parte " "los datos ordenados en dos mitades: la mitad queda por debajo, la " "mitad por encima. Su virtud es la ROBUSTEZ: su punto de ruptura es " "50% —habría que corromper la mitad de las observaciones para " "moverla arbitrariamente—, frente al 0% de la media (a la que un " "solo dato basta para arrastrar sin límite). Por eso, cuando los " "datos son asimétricos o tienen atípicos —ingresos, precios de " "vivienda, tiempos de espera—, los estadísticos serios reportan la " "mediana: describe a la persona TÍPICA, no al promedio distorsionado. " "El precio de esa robustez es que la mediana ignora información " "(no le importa si el dato de arriba es 10 o 10.000), así que es " "menos eficiente que la media cuando NO hay atípicos y los datos " "son simétricos. Media y mediana no compiten: resuelven problemas " "distintos (pérdida cuadrática vs absoluta), y saber cuál usar es " "leer bien la forma de los datos."), autores=("La mediana como estadístico: Galton la popularizó (s. XIX) con " "ese nombre; la propiedad de minimizar el error absoluto y el punto " "de ruptura: estadística robusta (Tukey, Huber, s. XX) — menciones. " "Conocimiento estadístico general."), supuestos=[ "Datos al menos ORDINALES: la mediana solo necesita poder ordenar (no requiere distancias, a diferencia de la media) — sirve para variables ordinales donde la media no.", "Con n impar la mediana es un dato; con n par es el promedio de los dos centrales (una convención).", "El interés es el centro bajo pérdida ABSOLUTA (o la robustez ante atípicos); si los datos son simétricos y limpios, la media es más eficiente.", ], ecuaciones=[ Ecuacion("\\text{mediana} = x_{((n+1)/2)} \\;(n\\text{ impar})", "el valor central", "ordenados los datos, la mediana es el del medio: deja la mitad de las observaciones a " "cada lado — el percentil 50 (e24)."), Ecuacion("\\text{mediana} = \\arg\\min_a \\sum |x_i - a|", "minimiza el error absoluto", "de todos los centros posibles, la mediana es el que minimiza la suma de distancias " "absolutas — el análogo de la media, pero con |·| en vez de (·)²."), Ecuacion("\\text{punto de ruptura} = 50\\%", "robustez", "hay que corromper la MITAD de los datos para mover la mediana sin control; a la media " "le basta un solo dato (0%) — la mediana es el centro robusto."), ], intuicion=("La imagen es una fila de personas ordenadas por estatura: la " "mediana es simplemente la persona del medio, y da igual si el " "más alto mide 2 metros o 3 —sigue siendo el mismo del medio—. " "La media, en cambio, si al más alto lo reemplazamos por un " "gigante de 10 metros, se dispara, aunque nadie más haya " "cambiado. Esa es toda la diferencia: la mediana cuenta POSICIONES " "(¿de qué lado caes?), la media pesa MAGNITUDES (¿cuán lejos " "estás?). Por eso la mediana es la medida de los datos 'sucios' " "del mundo real —ingresos con multimillonarios, precios con " "mansiones, tiempos con casos patológicos— y la razón por la que " "los organismos serios reportan el ingreso MEDIANO de un país, no " "el promedio: el promedio sube cuando los ricos se hacen más " "ricos aunque el resto no cambie; la mediana solo sube si mejora " "la persona del medio. La contracara: al ignorar magnitudes, la " "mediana tira información, y con datos limpios y simétricos la " "media aprovecha mejor los datos (es más eficiente). La regla " "práctica: si media ≈ mediana, los datos son simétricos y da " "igual; si media ≫ mediana, hay cola a la derecha (outliers " "altos) y la mediana es la honesta."), equilibrio=("La mediana es el argmin de Σ|xᵢ−a| (único si n impar; un " "intervalo si n par). Parte los datos 50/50 y tiene punto de " "ruptura 50% — el centro robusto. Diverge de la media cuando los " "datos son asimétricos: media≫mediana señala cola derecha."), limitaciones=[ "Ignora magnitudes: no distingue un dato de arriba en 10 de uno en 10.000 — esa robustez cuesta información; con datos simétricos y limpios la media es más eficiente.", "Menos tratable algebraicamente: no tiene una fórmula suave como la media (no se deriva igual), lo que complica su teoría de muestreo (aunque hay resultados asintóticos).", "Con n par la 'mediana' es una convención (promedio de los dos centrales); y en variables muy discretas puede caer entre valores sin sentido sustantivo.", ], evolucion=("Completa el par con la media (e17): misma pregunta, pérdidas " "distintas (absoluta vs cuadrática), robustez opuesta (50% vs " "0%). Generaliza a los CUANTILES —cuartiles (e23), percentiles " "(e24), deciles (e25)—, siendo la mediana el percentil 50. Su " "robustez es el tema de las medidas robustas (e32) y la detección " "de atípicos (e33), donde se une con la MAD (desviación absoluta " "mediana). Con la moda (e19) completa las medidas de tendencia " "central."), ), escenarios=[ Escenario("candidato_bajo", "probar un centro bajo (a = 4)", {"a": 4.0}, "con a=4 el error absoluto sube respecto al mínimo: mover el " "candidato por debajo de la mediana deja más distancia total. La " "'V' de Σ|xᵢ−a| sube hacia la izquierda.", cadena=["elegir a = 4 (< mediana)", "más datos quedan a la derecha que a la izquierda", "el error absoluto Σ|xᵢ−a| aumenta", "solo la mediana lo minimiza"]), Escenario("candidato_en_media", "probar el centro en la MEDIA (a = 11.3)", {"a": 11.0}, "poner el candidato en la media (arrastrada por el outlier) da MÁS " "error absoluto que la mediana: para la pérdida absoluta, la media " "es un mal centro justamente por dejarse llevar por el 40.", cadena=["elegir a ≈ media (11.3, tras el outlier)", "la media está lejos del grueso de los datos", "el error absoluto es mayor que en la mediana", "confirma: para |·|, la mediana gana"]), ], verificaciones=[ Verificacion("la mediana parte los datos en dos mitades", _v_parte_en_dos), Verificacion("la mediana minimiza el error absoluto Σ|xᵢ−a|", _v_minimiza_l1), Verificacion("la mediana es robusta (punto de ruptura 50%)", _v_robusta), Verificacion("con outlier, media y mediana divergen", _v_vs_media_sesgo), ], notas="La mediana minimiza el error ABSOLUTO Σ|xᵢ−a| (la media minimiza el cuadrático, e17) y es ROBUSTA (ruptura 50% vs 0%). Cuenta posiciones, no magnitudes: describe a la persona típica. media≫mediana ⇒ cola derecha.", )