"""simuladores/estadistica/modelos/nivel_02/e19_moda.py — la moda (sección II, tema 19). El valor más FRECUENTE. Es la tercera medida de tendencia central (con media e17 y mediana e18), y la única que sirve para datos CUALITATIVOS/nominales —donde "promediar" u "ordenar" no tienen sentido (¿el color promedio? ¿la religión mediana?)—. Puede no existir (todos distintos), no ser única (bimodal, multimodal), y en datos sesgados difiere de media y mediana. El modelo muestra una distribución de frecuencias como barras y deja añadir copias de un valor retador para ver cómo la moda cambia o empata. """ import numpy as np from base import Ecuacion, Escenario, Ficha, Modelo, Parametro, Verificacion import config _VALORES = np.arange(1, 9) # 1..8 _BASE = np.array([1, 2, 4, 3, 7, 3, 2, 1]) # frecuencias base; moda = valor 5 (7 veces) _RETADOR = 3 # el valor cuya frecuencia sube el parámetro def _frecuencias(extra): f = _BASE.copy() f[_RETADOR - 1] += int(extra) return f def _moda(f): top = f.max() return [int(_VALORES[i]) for i in range(len(f)) if f[i] == top] def _curvas(p): f = _frecuencias(p["extra"]) modas = _moda(f) colores = [config.DORADO if v in modas else config.AZUL2 for v in _VALORES] return {"barras": ([str(v) for v in _VALORES], list(f), colores), "anotacion": (f"moda = {', '.join(map(str, modas))} (valor más frecuente, {int(f.max())} veces)\n" f"{'BIMODAL: dos picos empatan' if len(modas) > 1 else 'unimodal: un pico'}\n" "la moda sirve para datos cualitativos (media/mediana no)")} def _resultados(p): f = _frecuencias(p["extra"]) datos = np.repeat(_VALORES, f) modas = _moda(f) return {"moda (o modas)": float(modas[0]) if len(modas) == 1 else float(len(modas)), "frecuencia de la moda": float(f.max()), "¿bimodal? (nº de modas)": float(len(modas)), "media (comparación)": float(datos.mean()), "mediana (comparación)": float(np.median(datos))} def _ecuaciones_calibradas(p): f = _frecuencias(p["extra"]) modas = _moda(f) return [f"\\text{{moda}} = \\arg\\max_v \\ \\mathrm{{frecuencia}}(v) = {{{', '.join(map(str, modas))}}}", f"\\text{{sirve para datos nominales; puede no ser única (bimodal) o no existir}}"] _P0 = {"extra": 0} def _v_es_el_mas_frecuente(): f = _frecuencias(0) modas = _moda(f) return modas == [5] and f[4] == f.max(), \ (f"la moda es el valor MÁS FRECUENTE (5, con {int(f.max())} apariciones): el pico de la distribución — " "argmax de las frecuencias, no un promedio ni una posición") def _v_sirve_nominal(): return True, \ ("la moda es la ÚNICA medida de centro para datos CUALITATIVOS/nominales (color, marca, partido): " "no se puede promediar ni ordenar categorías (e05), pero sí contar cuál es la más común") def _v_bimodal(): # al igualar la frecuencia del retador (3) con la de la moda (5), hay dos modas extra = _BASE[4] - _BASE[_RETADOR - 1] # cuánto falta para empatar en el pico modas = _moda(_frecuencias(extra)) return len(modas) == 2 and set(modas) == {3, 5}, \ (f"al empatar las frecuencias aparecen DOS modas ({', '.join(map(str, modas))}): la moda puede no ser " "única (bimodal, multimodal) — señal de que hay dos grupos mezclados en los datos") def _v_difiere_de_media(): f = _frecuencias(0) datos = np.repeat(_VALORES, f) moda = _moda(f)[0] return abs(moda - datos.mean()) > 0.3, \ (f"la moda ({moda}) difiere de la media ({datos.mean():.1f}) y la mediana ({np.median(datos):.1f}): en " "distribuciones asimétricas las tres medidas de centro se separan — cada una cuenta algo distinto") MODELO = Modelo( id="e19", nivel=2, nombre="La moda", xlabel="valor", ylabel="frecuencia", parametros=[ Parametro("extra", _P0["extra"], 0, 8, 1, f"Copias extra del valor {_RETADOR}", grupo="descriptiva", definicion="sube la frecuencia del retador; al empatar el pico, la moda se vuelve bimodal"), ], curvas=_curvas, resultados=_resultados, ecuaciones_calibradas=_ecuaciones_calibradas, ficha=Ficha( pregunta="¿Cuál es el valor 'típico' cuando ni siquiera se puede promediar — por ejemplo, el color o la marca más común?", variables=[("moda", "el valor (o categoría) más frecuente"), ("frecuencia", "cuántas veces aparece cada valor"), ("unimodal / bimodal", "uno o varios picos")], derivacion=["\\text{contar la frecuencia de cada valor: } \\mathrm{frec}(v)", "\\text{moda} = \\arg\\max_v \\ \\mathrm{frec}(v) \\quad(\\text{el pico})", "\\text{si dos valores empatan en el máximo} \\Rightarrow \\text{bimodal}"], contexto=("La moda es la medida de tendencia central más intuitiva —el " "valor que más se repite— y, a la vez, la más subestimada. Su " "virtud única aparece cuando los datos NO son numéricos: no tiene " "sentido preguntar por el color 'promedio' de los autos de una " "ciudad, ni por la religión 'mediana' de un país, pero sí por el " "color o la religión MÁS COMÚN —y esa es la moda—. Es la única " "medida de centro aplicable a datos cualitativos o nominales " "(e05), donde promediar y ordenar carecen de significado. Para " "datos numéricos, la moda es el pico de la distribución, y " "conviene mirarla junto a la media y la mediana: en una " "distribución simétrica las tres coinciden, pero en una sesgada se " "separan (en un sesgo a la derecha, típico de ingresos, la moda " "queda a la izquierda, luego la mediana, luego la media). La moda " "tiene además dos peculiaridades que enseñan algo sobre los datos: " "puede NO EXISTIR (si todos los valores son distintos, no hay " "ninguno más frecuente) y puede NO SER ÚNICA (si dos o más valores " "empatan en el máximo, la distribución es bi- o multi-modal). Y " "esa multimodalidad no es un defecto: suele ser la pista de que en " "los datos conviven DOS POBLACIONES distintas —dos grupos, dos " "regímenes, dos procesos— que se están promediando por error. Un " "histograma con dos jorobas (como la población de e02) grita " "'aquí hay dos cosas mezcladas', y la media de todo no describe a " "ninguna."), autores=("La moda como estadístico y el término: Karl Pearson (1895), quien " "también nombró la mediana y la desviación estándar — mención " "histórica. Conocimiento estadístico general."), supuestos=[ "Para datos NOMINALES/ordinales la moda es la única medida de centro válida (no se promedia ni se ordena por distancia).", "Para datos CONTINUOS la moda depende del agrupamiento (ancho de los intervalos/bins): distintas particiones pueden dar picos distintos — es la menos estable.", "Se reporta junto a media y mediana: su relación revela la forma (simétrica ⇒ coinciden; sesgada ⇒ se separan; bimodal ⇒ dos grupos).", ], ecuaciones=[ Ecuacion("\\mathrm{moda} = \\arg\\max_v \\ \\mathrm{frec}(v)", "el valor más frecuente", "el valor con la mayor frecuencia: el pico de la distribución de frecuencias — no un " "promedio ni una posición, sino un conteo."), Ecuacion("\\text{simétrica: moda} = \\text{mediana} = \\text{media}", "cuando coinciden", "en una distribución simétrica y unimodal las tres medidas de centro caen en el mismo " "punto; su separación mide y señala la asimetría (e30)."), Ecuacion("\\text{dos picos que empatan} \\Rightarrow \\text{bimodal}", "multimodalidad", "si dos valores comparten la frecuencia máxima hay dos modas: pista de que los datos " "mezclan dos poblaciones (dos grupos, dos procesos)."), ], intuicion=("La moda es la respuesta a '¿qué es lo más común?', y por eso es " "la medida que la gente usa sin saberlo: 'el auto más vendido', " "'la talla más pedida', 'la hora pico'. Su poder está en que no " "necesita números: funciona con categorías puras, donde media y " "mediana son mudas. Su debilidad es que ignora casi toda la " "información —solo mira cuál gana en frecuencia, no las " "magnitudes— y es inestable en datos continuos (cambia con el " "ancho de los intervalos). Pero su lección más valiosa es la " "multimodalidad: cuando ves dos picos, la naturaleza te está " "avisando que promediar es un error. La estatura 'promedio' de " "una población que mezcla hombres y mujeres cae en un valle donde " "hay poca gente; la moda revela las dos jorobas. Por eso, antes " "de resumir cualquier conjunto con UN número, conviene mirar su " "histograma: si tiene un solo pico, la media basta; si tiene dos, " "hay que separar los grupos (clustering, e186) antes de hablar de " "'el promedio'."), equilibrio=("La moda es el argmax de la frecuencia: única si hay un pico " "claro, múltiple si hay empates, inexistente si todo es " "distinto. Coincide con media y mediana en distribuciones " "simétricas unimodales; se separa de ellas con la asimetría."), limitaciones=[ "Ignora las magnitudes: solo cuenta frecuencias, así que desperdicia información cuando los datos son numéricos (media y mediana la aprovechan).", "Inestable en datos continuos: depende del ancho de los intervalos; con pocos datos o bins mal elegidos el 'pico' es artefacto del agrupamiento.", "Puede no existir o no ser única: cómodo conceptualmente pero incómodo operativamente; no siempre da 'un número' para resumir.", ], evolucion=("Completa las tres medidas de tendencia central (media e17, " "mediana e18, moda e19), cada una óptima en su terreno: media " "para simétricas limpias, mediana para sesgadas/robustez, moda " "para nominales y para detectar multimodalidad. Su relación con " "media y mediana anticipa la ASIMETRÍA (e30). La multimodalidad " "que revela motiva el clustering (e186) y recuerda la lección de " "e02: no promediar poblaciones mezcladas."), ), escenarios=[ Escenario("unimodal", "un solo pico (sin retador)", {"extra": 0}, "sin reforzar al retador, hay una sola moda (5): distribución " "unimodal, un único valor típico. Media, mediana y moda difieren " "por la ligera asimetría.", cadena=["frecuencias base", "un valor domina en frecuencia (5)", "moda única = 5", "unimodal: un solo grupo"]), Escenario("bimodal", "empatar los picos (retador iguala a la moda)", {"extra": 4}, "al reforzar el valor 3 hasta empatar con el 5, aparecen DOS " "modas: la distribución se vuelve bimodal, señal de dos grupos " "mezclados — donde la media caería en el valle, sin describir a " "nadie.", cadena=["subir la frecuencia del retador (3)", "empata el pico con la moda original (5)", "aparecen dos modas (3 y 5)", "bimodal: dos poblaciones — no promediar"]), ], verificaciones=[ Verificacion("la moda es el valor más frecuente (argmax)", _v_es_el_mas_frecuente), Verificacion("la moda sirve para datos nominales (media/mediana no)", _v_sirve_nominal), Verificacion("la moda puede ser múltiple (bimodal)", _v_bimodal), Verificacion("en datos sesgados difiere de media y mediana", _v_difiere_de_media), ], notas="La moda = valor más frecuente (argmax de la frecuencia). Única medida de centro para datos NOMINALES. Puede no existir o ser múltiple: la bimodalidad delata dos poblaciones mezcladas (no promediar). Con media (e17) y mediana (e18) completa la tendencia central.", )