"""simuladores/estadistica/modelos/nivel_02/e24_percentiles.py — los percentiles (sección II, tema 24). La generalización de los cuartiles a CUALQUIER corte: el percentil p es el valor por debajo del cual cae el p% de los datos. El percentil 50 es la mediana, el 25 y el 75 son Q1 y Q3 (e23). Su lectura inversa —el "rango percentil" de un valor: qué % lo supera— es la que usan las tablas de crecimiento infantil ("tu hijo está en el percentil 90 de estatura"), los exámenes estandarizados y el Valor-en-Riesgo financiero (el percentil 5 de pérdidas). El modelo muestra la función de distribución empírica y deja mover p para leer cualquier percentil, y su recíproco. """ import numpy as np from base import Ecuacion, Escenario, Ficha, Modelo, Parametro, Verificacion import config _D = np.round(np.random.default_rng(1).normal(500, 100, 240)) # puntajes tipo examen (fijo, semilla) def _percentil(p): return float(np.percentile(_D, p)) def _rango_percentil(valor): return float(np.mean(_D < valor) * 100) def _curvas(p): pp = p["p"] x = np.sort(_D) n = len(x) ecdf = np.arange(1, n + 1) / n vp = _percentil(pp) return {"lineas": {"función de distribución empírica F(x)": (x, ecdf, config.AZUL2), f"nivel p = {pp:.0f}%": (np.array([x.min(), x.max()]), np.array([pp / 100, pp / 100]), config.GRIS)}, "puntos": [(vp, pp / 100, f"percentil {pp:.0f} = {vp:.0f}")], "anotacion": (f"percentil {pp:.0f} = {vp:.0f}: el {pp:.0f}% de los puntajes está por debajo\n" f"percentil 50 = {_percentil(50):.0f} = mediana; 25 y 75 = cuartiles (e23)\n" "lectura inversa: un puntaje de 600 está en el percentil " f"{_rango_percentil(600):.0f}")} def _resultados(p): pp = p["p"] return {"nivel p (%)": float(pp), "percentil p (valor)": _percentil(pp), "percentil 50 (= mediana)": _percentil(50), "percentil 25 (= Q1)": _percentil(25), "percentil 75 (= Q3)": _percentil(75), "rango percentil de un 600": _rango_percentil(600.0)} def _ecuaciones_calibradas(p): pp = p["p"] return [f"P_{{{pp:.0f}}} = {_percentil(pp):.0f}:\\ \\text{{el }} {pp:.0f}\\%\\ \\text{{de los datos está por debajo}}", f"P_{{50}} = \\text{{mediana}},\\ P_{{25}} = Q_1,\\ P_{{75}} = Q_3\\ \\text{{(los cuartiles son percentiles)}}"] _P0 = {"p": 90.0} def _v_p50_es_mediana(): return abs(_percentil(50) - float(np.median(_D))) < 1e-9, \ (f"el percentil 50 = {_percentil(50):.0f} = la mediana (e18): la mediana no es más que el percentil " "central — los percentiles la generalizan a cualquier corte del 0 al 100") def _v_cuartiles_son_percentiles(): ok = (abs(_percentil(25) - float(np.percentile(_D, 25))) < 1e-9 and abs(_percentil(75) - float(np.percentile(_D, 75))) < 1e-9) return ok, \ (f"los cuartiles SON percentiles: Q1 = percentil 25 = {_percentil(25):.0f}, Q3 = percentil 75 = " f"{_percentil(75):.0f} (e23) — cuartiles, deciles (e25) y mediana son casos particulares de percentil") def _v_p_por_ciento_debajo(): for pp in (10, 30, 60, 90): prop = np.mean(_D <= _percentil(pp)) if abs(prop - pp / 100) > 0.05: return False, f"el percentil {pp} no deja ~{pp}% por debajo (dio {prop*100:.0f}%)" return True, \ ("por definición, el percentil p deja aproximadamente el p% de los datos por debajo: percentil 10 → " "~10% debajo, percentil 90 → ~90% debajo — la proporción acumulada F es su inversa (el rango percentil)") def _v_monotono(): return _percentil(10) < _percentil(50) < _percentil(90), \ (f"los percentiles CRECEN con p: P10={_percentil(10):.0f} < P50={_percentil(50):.0f} < " f"P90={_percentil(90):.0f} — a mayor nivel, mayor el valor; la función es monótona (es la inversa de F)") MODELO = Modelo( id="e24", nivel=2, nombre="Los percentiles", xlabel="puntaje", ylabel="proporción acumulada F(x)", parametros=[ Parametro("p", _P0["p"], 1.0, 99.0, 1.0, "Nivel del percentil p (%)", grupo="descriptiva", definicion="el percentil p es el valor con el p% de los datos por debajo; p=50 es la mediana"), ], curvas=_curvas, resultados=_resultados, ecuaciones_calibradas=_ecuaciones_calibradas, ficha=Ficha( pregunta="Cuando te dicen 'estás en el percentil 90', ¿qué significa exactamente — y cómo se calcula cualquier corte de los datos?", variables=[("Pₚ", "percentil p: valor con el p% de los datos por debajo"), ("p", "el nivel, de 0 a 100"), ("rango percentil", "la inversa: qué % de datos supera un valor dado")], derivacion=["F(x) = \\text{proporción de datos} \\le x \\;(\\text{distribución empírica})", "P_p = F^{-1}(p/100) : \\text{el valor donde } F \\text{ cruza } p/100", "P_{50} = \\text{mediana},\\; P_{25} = Q_1,\\; P_{75} = Q_3", "\\text{rango percentil}(v) = 100 \\cdot F(v) \\;(\\text{la lectura inversa})"], contexto=("Los percentiles son la forma más flexible de ubicar un valor " "dentro de una distribución, y la que la gente encuentra a diario " "sin darse cuenta de que es estadística. El percentil p es, " "simplemente, el valor por debajo del cual cae el p% de los datos: " "el percentil 90 de estatura es la altura que supera al 90% de los " "niños de esa edad, el percentil 25 de ingresos es el umbral bajo " "el cual está el cuarto más pobre. Generalizan los cuartiles (e23): " "el percentil 50 es la mediana, el 25 y el 75 son Q1 y Q3, el 10 y " "el 90 recortan las colas. Formalmente, el percentil es la INVERSA " "de la función de distribución empírica F —si F te dice qué " "proporción de datos hay por debajo de un valor, el percentil te " "da el valor para una proporción—, y esa doble lectura es lo que " "los hace tan versátiles. En una dirección, fijas un nivel y " "obtienes un umbral: '¿cuál es el ingreso del percentil 90?'. En la " "otra —el RANGO PERCENTIL— fijas un valor y obtienes su posición " "relativa: '¿en qué percentil quedó mi puntaje?'. Esta segunda es " "la que usan las tablas de crecimiento pediátrico (el clásico " "'percentil 90 de peso'), los exámenes estandarizados (tu resultado " "vs el de todos) y las finanzas: el Valor-en-Riesgo (VaR) es " "literalmente el percentil 5 de la distribución de pérdidas —la " "pérdida que solo se supera el 5% de las veces—. La gran virtud de " "los percentiles es que describen la POSICIÓN sin suponer ninguna " "forma de la distribución (no exigen normalidad ni simetría) y son " "robustos como la mediana; su límite es que, al ser posicionales, " "ignoran las magnitudes —dos personas en el mismo percentil pueden " "estar muy separadas en valor absoluto—."), autores=("Los percentiles y el análisis por cuantiles: Francis Galton " "(rangos y cuantiles, s. XIX) — mención histórica. Conocimiento " "estadístico general."), supuestos=[ "Datos al menos ORDINALES: los percentiles solo requieren ordenar; describen posición, no magnitud.", "Con n finito hay convenciones de interpolación (aquí la lineal de numpy); irrelevantes con muchos datos.", "El percentil describe posición relativa DENTRO de la muestra: comparar percentiles entre grupos exige que sean comparables (misma variable, misma referencia).", ], ecuaciones=[ Ecuacion("P_p = F^{-1}(p/100)", "el percentil como inversa de F", "el valor donde la proporción acumulada alcanza p/100: fijas el nivel, obtienes el " "umbral — la inversa de la función de distribución empírica."), Ecuacion("P_{50} = \\text{mediana}, \\; P_{25} = Q_1, \\; P_{75} = Q_3", "generaliza cuartiles y mediana", "mediana, cuartiles y deciles son percentiles particulares: un solo concepto para todos " "los cortes posicionales de los datos."), Ecuacion("\\text{rango percentil}(v) = 100 \\cdot F(v)", "la lectura inversa", "fijas un valor y obtienes su posición: '¿en qué percentil está?' — lo que usan las " "tablas de crecimiento y los exámenes estandarizados."), ], intuicion=("El percentil es la respuesta a '¿dónde me ubico?' sin necesidad " "de saber cuánto valen los demás en términos absolutos: basta con " "cuántos están por debajo. Esa es su magia y su trampa. Su magia: " "hace comparables cosas de escalas distintas (un percentil 90 en " "matemáticas y un percentil 90 en lectura significan lo mismo " "—mejor que el 90%— aunque los puntajes brutos no se parezcan) y " "es inmune a los outliers (mover al más alto no cambia tu " "percentil). Su trampa: al medir posición y no magnitud, esconde " "las distancias —subir del percentil 50 al 60 puede requerir " "muchísimo más esfuerzo que del 89 al 90, según cómo se apiñen los " "datos—, y en distribuciones muy desiguales (ingresos) percentiles " "vecinos pueden separar mundos enteros. La lección para leer datos " "con percentiles: son perfectos para UBICAR y COMPARAR posiciones, " "pero para hablar de CUÁNTO —cuánta desigualdad, cuánta mejora— " "hay que volver a las magnitudes (la razón entre percentiles, " "como el decil 90/10 de e25, o directamente los valores)."), equilibrio=("El percentil Pₚ es único (dada la interpolación) y monótono " "creciente en p (es la inversa de F). Robusto como la mediana. " "Describe posición, no magnitud; su recíproco es el rango " "percentil. No hay 'equilibrio': es la geometría de la " "distribución empírica."), limitaciones=[ "Posicional, no de magnitud: ignora las distancias entre valores; dos datos en el mismo percentil pueden diferir mucho en valor absoluto.", "Depende de la muestra de referencia: un percentil solo tiene sentido respecto a una población concreta; comparar percentiles de poblaciones distintas puede engañar.", "Interpolación con n pequeño: distintas convenciones dan percentiles algo distintos; y con muy pocos datos los percentiles extremos son inestables.", ], evolucion=("Generalizan los cuartiles (e23) y la mediana (e18) a cualquier " "corte, y se especializan en deciles (e25). Son la base del " "Valor-en-Riesgo, de las tablas de crecimiento y de los rankings. " "La transformación a percentiles (o a rangos) reaparece en las " "pruebas no paramétricas (e116-e119, que trabajan con rangos en " "vez de valores) y en la estandarización robusta. Conectan la " "descriptiva con la idea de distribución que abre la probabilidad " "(sección III)."), ), escenarios=[ Escenario("percentil_alto", "un corte alto (p = 90)", {"p": 90.0}, "el percentil 90 marca el umbral que supera solo el 10% superior: " "el 'muy por encima del promedio'. Es el corte de las becas de " "excelencia, los sueldos altos, la estatura de los más altos.", cadena=["fijar p = 90", "buscar el valor con 90% de datos por debajo", "solo el 10% superior lo supera", "el umbral de 'destacado'"]), Escenario("percentil_bajo", "un corte bajo (p = 5): cola inferior", {"p": 5.0}, "el percentil 5 marca la cola inferior: el 5% más bajo. Es el " "Valor-en-Riesgo en finanzas (la pérdida que solo se supera 5% de " "las veces) y el umbral de las alertas (bajo peso, bajo " "rendimiento).", cadena=["fijar p = 5 (cola inferior)", "el valor bajo el cual está el 5% más bajo", "en finanzas: el Valor-en-Riesgo (VaR)", "el umbral de alarma de la cola"]), ], verificaciones=[ Verificacion("el percentil 50 es la mediana", _v_p50_es_mediana), Verificacion("los cuartiles son percentiles (25, 75)", _v_cuartiles_son_percentiles), Verificacion("el percentil p deja ~p% de datos por debajo", _v_p_por_ciento_debajo), Verificacion("los percentiles crecen con p (monótonos)", _v_monotono), ], notas="Percentil p = valor con el p% de datos por debajo (inversa de F). Generaliza mediana (P50) y cuartiles (P25=Q1, P75=Q3). Su lectura inversa (rango percentil) es la de las tablas de crecimiento y el VaR (percentil 5 de pérdidas). Posición, no magnitud.", )