"""simuladores/estadistica/modelos/nivel_02/e29_coeficiente_variacion.py — el coeficiente de variación (sección II, tema 29). La dispersión RELATIVA. La desviación estándar (e27-e28) mide la dispersión en las unidades de los datos, así que NO permite comparar variables de escalas distintas: ¿qué varía más, el peso de los elefantes (σ enorme) o el de los ratones (σ minúsculo)? Comparar sus desviaciones no tiene sentido. El coeficiente de variación CV = σ/μ (a menudo ×100 como %) resuelve esto: expresa la desviación como FRACCIÓN de la media, sin unidades, y es INVARIANTE A LA ESCALA. El modelo escala los datos y muestra que σ crece pero el CV no se mueve — por eso el CV, no la desviación, compara dispersión entre variables. """ import numpy as np from base import Ecuacion, Escenario, Ficha, Modelo, Parametro, Verificacion import config _BASE = np.array([42, 48, 50, 51, 55, 47, 53, 49, 46, 52], float) # datos base (μ≈49.3) def _cv(x): return float(x.std() / x.mean()) def _curvas(p): c = p["escala"] grid = np.linspace(0.2, 5.0, 160) sigmas = np.array([(_BASE * g).std() for g in grid]) cvs = np.array([_cv(_BASE * g) for g in grid]) return {"lineas": {"desviación estándar σ: CRECE con la escala": (grid, sigmas, config.ROJO), "coeficiente de variación CV=σ/μ: INVARIANTE": (grid, cvs * 100, config.AZUL2)}, "puntos": [(c, _cv(_BASE * c) * 100, f"escala ×{c:.1f} → CV {_cv(_BASE*c)*100:.1f}%")], "anotacion": (f"escalar los datos ×{c:.1f}: σ = {(_BASE*c).std():.1f} (cambia)\n" f"CV = σ/μ = {_cv(_BASE*c)*100:.1f}% (NO cambia)\n" "el CV es adimensional: compara dispersión entre escalas")} def _resultados(p): c = p["escala"] x = _BASE * c return {"escala c": float(c), "media μ": float(x.mean()), "desviación σ (cambia con la escala)": float(x.std()), "coeficiente de variación CV = σ/μ (%)": _cv(x) * 100, "CV de los datos base (%)": _cv(_BASE) * 100, "¿CV invariante? (base vs escalado)": 1.0 if abs(_cv(x) - _cv(_BASE)) < 1e-9 else 0.0} def _ecuaciones_calibradas(p): c = p["escala"] x = _BASE * c return [f"\\mathrm{{CV}} = \\frac{{\\sigma}}{{\\mu}} = \\frac{{{x.std():.1f}}}{{{x.mean():.1f}}} = {_cv(x)*100:.1f}\\%\\ \\text{{(dispersión relativa)}}", f"\\mathrm{{CV}}(cX) = \\mathrm{{CV}}(X)\\ \\text{{(invariante a la escala: adimensional)}}"] _P0 = {"escala": 1.0} def _v_definicion(): cv = _cv(_BASE) return abs(cv - _BASE.std() / _BASE.mean()) < 1e-12, \ (f"el coeficiente de variación es σ/μ = {_BASE.std():.1f}/{_BASE.mean():.1f} = {cv*100:.1f}%: la " "desviación expresada como fracción de la media — la dispersión RELATIVA al tamaño de lo que se mide") def _v_invariante_escala(): valores = [_cv(_BASE * c) for c in (0.5, 1, 2, 10)] return max(valores) - min(valores) < 1e-9, \ (f"el CV es INVARIANTE a la escala: multiplicar todos los datos por cualquier c no lo cambia " f"({valores[0]*100:.1f}% en los cuatro casos) — porque σ y μ escalan igual, y su cociente se cancela") def _v_compara_escalas(): # elefantes (μ grande, σ grande) vs ratones (μ chico, σ chico): mismo CV si son proporcionales elefantes = _BASE * 100 # ~kg ratones = _BASE * 0.5 # ~g return abs(_cv(elefantes) - _cv(ratones)) < 1e-9, \ (f"el CV compara ACROSS escalas: elefantes (σ={elefantes.std():.0f}) y ratones (σ={ratones.std():.1f}) " f"tienen desviaciones incomparables, pero el MISMO CV ({_cv(elefantes)*100:.1f}%) — igual de variables en términos relativos") def _v_indefinido_media_cero(): # si la media se acerca a 0, el CV explota / pierde sentido x = _BASE - _BASE.mean() # media 0 cv_grande = abs(np.std(x) / (np.mean(x) + 1e-6)) return cv_grande > 100, \ ("el CV pierde sentido si μ ≈ 0 (explota) o μ < 0: solo es interpretable para variables POSITIVAS con " "media lejos de cero (pesos, precios, tiempos) — no para temperaturas en °C ni para diferencias centradas") MODELO = Modelo( id="e29", nivel=2, nombre="El coeficiente de variación", xlabel="escala de los datos (×c)", ylabel="σ y CV(%)", parametros=[ Parametro("escala", _P0["escala"], 0.2, 5.0, 0.1, "Escala de los datos (×c)", grupo="descriptiva", definicion="multiplica todos los datos; σ cambia pero el CV (dispersión relativa) no"), ], curvas=_curvas, resultados=_resultados, ecuaciones_calibradas=_ecuaciones_calibradas, ficha=Ficha( pregunta="¿Qué varía más: el peso de los elefantes o el de los ratones? (Comparar sus desviaciones no sirve — ¿entonces?)", variables=[("CV", "coeficiente de variación = σ/μ (dispersión relativa, sin unidades)"), ("σ", "desviación estándar (absoluta, con unidades)"), ("μ", "la media (la escala respecto a la que se relativiza)")], derivacion=["\\sigma \\text{ está en las unidades de los datos} \\Rightarrow \\text{no compara escalas}", "\\mathrm{CV} = \\frac{\\sigma}{\\mu} : \\text{dispersión como fracción de la media}", "\\text{adimensional} \\Rightarrow \\mathrm{CV}(cX) = \\mathrm{CV}(X) \\;(\\text{invariante})", "\\text{compara variables de escalas y unidades distintas}"], contexto=("El coeficiente de variación resuelve un problema que la " "desviación estándar no puede: comparar la dispersión de cosas " "medidas en escalas distintas. La desviación del peso de los " "elefantes será de cientos de kilos, y la del peso de los ratones " "de unos pocos gramos —comparar esos dos números es absurdo, no " "porque los elefantes 'varíen más', sino porque son más grandes en " "todo—. Lo que tiene sentido es preguntar por la variabilidad " "RELATIVA al tamaño típico: ¿se aparta el peso de un elefante de " "su media, en proporción, más o menos que el de un ratón? Eso es " "el CV = σ/μ, la desviación estándar expresada como fracción " "(o porcentaje) de la media. Al dividir dos cantidades en las " "mismas unidades, el CV queda ADIMENSIONAL —un número puro— y, por " "lo tanto, INVARIANTE A LA ESCALA: si mides las mismas cosas en " "gramos o en kilos, en soles o en dólares, la desviación cambia " "pero el CV no. Esa invariancia es exactamente lo que lo hace " "comparable entre variables. Se usa para todo lo que exige comparar " "variabilidades: en finanzas, para comparar el riesgo relativo de " "activos de distinto precio (el CV de los retornos, primo del " "ratio de Sharpe); en control de calidad, para comparar la " "precisión de procesos que producen piezas de tamaños distintos; " "en biología, para comparar cuán variable es un rasgo entre " "especies. Un CV bajo (digamos <10%) indica un proceso o rasgo " "MUY consistente; uno alto, muy variable. Pero el CV tiene una " "trampa importante: solo tiene sentido para variables POSITIVAS " "con media lejos de cero. Si la media se acerca a cero, el CV " "explota (dividir por casi nada); si la variable puede ser " "negativa o su cero es arbitrario (temperaturas en Celsius, " "diferencias, retornos que pueden ser negativos), el CV pierde " "sentido —relativizar a una media que no es un 'tamaño' genuino no " "significa nada—. Usado donde corresponde (pesos, precios, " "tiempos, conteos), es la medida correcta de 'cuán disperso " "relativo a su tamaño'."), autores=("El coeficiente de variación: Karl Pearson (1896), quien lo " "introdujo como medida de dispersión relativa — mención histórica. " "Conocimiento estadístico general."), supuestos=[ "Variable POSITIVA con media claramente mayor que cero y con un cero ABSOLUTO significativo (razón/ratio scale, e05): pesos, precios, tiempos, conteos — no temperaturas en °C ni diferencias centradas.", "Se compara dispersión RELATIVA: dos variables con el mismo CV son 'igual de variables' en proporción a su tamaño, aunque sus desviaciones absolutas difieran.", "Hereda la no robustez de σ y μ (e32): outliers distorsionan tanto el numerador como el denominador.", ], ecuaciones=[ Ecuacion("\\mathrm{CV} = \\frac{\\sigma}{\\mu}", "coeficiente de variación", "la desviación como fracción de la media: dispersión relativa al tamaño típico, sin " "unidades — a menudo expresada como porcentaje (×100)."), Ecuacion("\\mathrm{CV}(cX) = \\mathrm{CV}(X)", "invariante a la escala", "escalar los datos multiplica σ y μ por igual, y su cociente se cancela: por eso el CV " "es comparable entre variables de escalas y unidades distintas."), Ecuacion("\\mu \\to 0 \\Rightarrow \\mathrm{CV} \\to \\infty", "solo para media positiva", "si la media se acerca a cero el CV explota, y si la variable puede ser negativa pierde " "sentido: solo aplica a variables positivas con cero absoluto (pesos, precios)."), ], intuicion=("El coeficiente de variación es la respuesta a '¿mucho respecto a " "qué?'. Una desviación de 10 es enorme si la media es 20 (CV=50%, " "los datos están por todos lados) e insignificante si la media es " "10.000 (CV=0.1%, un proceso de relojería). El CV pone la " "dispersión en perspectiva de tamaño, que es como el mundo real " "la juzga: un error de un centímetro es catastrófico al fabricar " "un chip y trivial al construir una carretera. Por eso es la " "medida correcta para preguntas de CONSISTENCIA relativa: qué " "proceso es más preciso, qué activo es más arriesgado por unidad " "de valor, qué rasgo es más estable entre especies. Su lección " "más útil es también su advertencia: solo funciona cuando " "'relativo a la media' significa algo, es decir, cuando la media " "es un tamaño genuino y positivo. Aplicarlo a temperaturas en " "Celsius (donde el cero es arbitrario) o a retornos que pueden ser " "negativos da números sin sentido —el CV de una variable centrada " "en cero explota o cambia con solo mover el origen—. Saber cuándo " "una medida aplica y cuándo no es, en el fondo, la competencia " "central de la estadística: no hay medida universal, hay medidas " "correctas para preguntas concretas."), equilibrio=("El CV = σ/μ es adimensional e invariante a la escala " "(CV(cX)=CV(X)), lo que lo hace comparable entre variables. " "Explota si μ→0 y pierde sentido si la variable puede ser " "negativa o su cero es arbitrario. Bajo = consistente; alto = " "muy variable. Solo para variables positivas de razón."), limitaciones=[ "Solo para variables positivas con cero absoluto: sin sentido para temperaturas en °C, retornos que pueden ser negativos, o diferencias centradas (donde μ puede ser 0 o el origen es arbitrario).", "Inestable si la media es pequeña: al dividir por μ, un μ cercano a cero dispara el CV, volviéndolo poco fiable.", "No robusto: usa σ y μ, que los outliers distorsionan; para dispersión relativa robusta se usaría MAD/mediana.", ], evolucion=("Lleva la dispersión (desviación, e27-e28) a su forma RELATIVA e " "invariante a la escala, permitiendo comparar variabilidad entre " "variables distintas —lo que la desviación absoluta no puede—. Es " "primo del ratio de Sharpe (riesgo por unidad de retorno) y del " "índice D9/D1 (e25, desigualdad relativa). Junto con la " "estandarización (e28, que relativiza cada dato) completa la idea " "de 'dispersión en contexto'. Sigue la FORMA de la distribución: " "asimetría (e30) y curtosis (e31)."), ), escenarios=[ Escenario("escala_original", "escala original (×1)", {"escala": 1.0}, "en la escala base, σ y CV toman sus valores originales. El CV " "resume la dispersión relativa a la media: la referencia contra la " "que se comparará al reescalar.", cadena=["datos en su escala original", "σ y μ en las unidades base", "CV = σ/μ (dispersión relativa)", "la referencia adimensional"]), Escenario("reescalado", "cambiar de unidades (×3)", {"escala": 3.0}, "al multiplicar los datos por 3 (p.ej. cambiar de unidades), la " "desviación se triplica pero el CV NO cambia: la variabilidad " "relativa es la misma, solo cambió la vara. Esa invariancia es " "todo el punto del CV.", cadena=["multiplicar los datos ×3 (cambio de unidades)", "σ se triplica (cambia con la escala)", "μ también se triplica", "CV = σ/μ NO cambia (invariante)"]), ], verificaciones=[ Verificacion("CV = σ/μ (dispersión relativa)", _v_definicion), Verificacion("el CV es invariante a la escala (CV(cX)=CV(X))", _v_invariante_escala), Verificacion("el CV compara variables de escalas distintas", _v_compara_escalas), Verificacion("el CV pierde sentido si μ ≈ 0 o μ < 0", _v_indefinido_media_cero), ], notas="CV=σ/μ: dispersión RELATIVA, adimensional, invariante a la escala (CV(cX)=CV(X)). Compara variabilidad entre variables de escalas distintas (elefantes vs ratones) que las desviaciones no pueden. Solo para variables positivas con media lejos de 0; explota si μ→0.", )