"""simuladores/estadistica/modelos/nivel_02/e30_asimetria.py — la asimetría (sesgo / skewness) (sección II, tema 30). La FORMA de la distribución más allá del centro y la dispersión: ¿es simétrica o tiene una cola larga hacia un lado? La asimetría es el tercer momento estandarizado, γ₁ = E[(X−μ)³]/σ³. Positiva = cola a la DERECHA (pocos valores muy altos: ingresos, precios, tiempos de espera); negativa = cola a la izquierda; cero = simétrica. Su huella práctica, ya vista en e18, es el orden de las medidas de centro: con sesgo a la derecha, moda < mediana < media (la media, arrastrada por la cola, es la mayor). El modelo genera datos con sesgo controlable y muestra las tres medidas separándose al crecer la asimetría. """ import numpy as np from base import Ecuacion, Escenario, Ficha, Modelo, Parametro, Verificacion import config _RNG_SEMILLA = 9 _N = 60000 def _datos(k): """Gamma(forma=k): muy sesgada si k chico, ~simétrica si k grande. Asimetría = 2/√k.""" rng = np.random.default_rng(_RNG_SEMILLA) return rng.gamma(float(k), 1.0, _N) def _asimetria(x): z = (x - x.mean()) / x.std() return float(np.mean(z ** 3)) def _moda_aprox(x): c, b = np.histogram(x, bins=80) i = int(np.argmax(c)) return float((b[i] + b[i + 1]) / 2) def _densidad(x, bins=90): d, b = np.histogram(x, bins=bins, density=True) return (b[:-1] + b[1:]) / 2, d def _curvas(p): x = _datos(p["k"]) cx, cy = _densidad(x) media, mediana, moda = float(x.mean()), float(np.median(x)), _moda_aprox(x) g = _asimetria(x) return {"lineas": {"densidad (Gamma)": (cx, cy, config.AZUL2)}, "puntos": [(moda, 0.0, f"moda≈{moda:.1f}"), (mediana, 0.0, f"mediana={mediana:.1f}"), (media, 0.0, f"media={media:.1f}")], "anotacion": (f"asimetría γ₁ = {g:+.2f} ({'cola a la DERECHA' if g > 0.1 else 'simétrica' if abs(g)<=0.1 else 'cola a la izquierda'})\n" f"orden: moda ({moda:.1f}) < mediana ({mediana:.1f}) < media ({media:.1f})\n" "la media se va tras la cola larga (por eso media≫mediana ⇒ sesgo derecho)")} def _resultados(p): x = _datos(p["k"]) return {"forma k (Gamma)": float(p["k"]), "asimetría γ₁ = E[(X−μ)³]/σ³": _asimetria(x), "asimetría teórica 2/√k": 2 / np.sqrt(p["k"]), "moda (aprox)": _moda_aprox(x), "mediana": float(np.median(x)), "media": float(x.mean()), "media − mediana (huella del sesgo)": float(x.mean() - np.median(x))} def _ecuaciones_calibradas(p): x = _datos(p["k"]) return [f"\\gamma_1 = \\frac{{E[(X-\\mu)^3]}}{{\\sigma^3}} = {_asimetria(x):+.2f}\\ \\text{{(3er momento estandarizado)}}", f"\\text{{sesgo derecho}}:\\ \\text{{moda}} < \\text{{mediana}} < \\text{{media}}\\ ({_moda_aprox(x):.1f} < {np.median(x):.1f} < {x.mean():.1f})"] _P0 = {"k": 2.0} def _v_signo_indica_cola(): x = _datos(2.0) # muy sesgada a la derecha return _asimetria(x) > 0.5, \ (f"la asimetría de una Gamma(k=2) es {_asimetria(x):+.2f} > 0: POSITIVA = cola larga a la DERECHA " "(pocos valores muy altos, como los ingresos). El SIGNO indica hacia dónde se estira la distribución") def _v_simetrica_cero(): x = _datos(60.0) # k grande → casi simétrica return abs(_asimetria(x)) < 0.35, \ (f"al aumentar la forma (k=60), la Gamma se vuelve casi simétrica y la asimetría → 0 ({_asimetria(x):+.2f}): " "una distribución simétrica tiene sesgo cero (la normal, e58, es el caso perfecto)") def _v_orden_medidas(): x = _datos(2.0) moda, mediana, media = _moda_aprox(x), float(np.median(x)), float(x.mean()) return moda < mediana < media, \ (f"con sesgo a la derecha: moda ({moda:.1f}) < mediana ({mediana:.1f}) < media ({media:.1f}) — la media " "se va tras la cola larga (e17), la mediana resiste (e18): por eso media≫mediana DELATA el sesgo") def _v_coincide_teorica(): x = _datos(4.0) return abs(_asimetria(x) - 2 / np.sqrt(4.0)) < 0.1, \ (f"la asimetría medida ({_asimetria(x):+.2f}) coincide con la teórica de la Gamma, 2/√k = {2/np.sqrt(4.0):+.2f}: " "el tercer momento estandarizado captura exactamente cuánto se estira una cola respecto a la otra") MODELO = Modelo( id="e30", nivel=2, nombre="La asimetría (sesgo)", xlabel="valor", ylabel="densidad", parametros=[ Parametro("k", _P0["k"], 1.0, 60.0, 1.0, "Forma de la distribución (k)", grupo="descriptiva", definicion="k chico → muy sesgada a la derecha; k grande → casi simétrica (asimetría→0)"), ], curvas=_curvas, resultados=_resultados, ecuaciones_calibradas=_ecuaciones_calibradas, ficha=Ficha( pregunta="Cuando la media es mucho mayor que la mediana, ¿qué le pasa a la forma de los datos — y por qué?", variables=[("γ₁", "asimetría = E[(X−μ)³]/σ³ (tercer momento estandarizado)"), ("cola", "el lado hacia el que se estira la distribución"), ("moda, mediana, media", "su orden delata el sesgo")], derivacion=["\\text{momentos centrales: } \\mu_r = E[(X-\\mu)^r]", "\\text{estandarizar (sin unidades): } \\gamma_1 = \\mu_3/\\sigma^3", "\\gamma_1 > 0 : \\text{cola derecha} \\;;\\; \\gamma_1 < 0 : \\text{cola izquierda}", "\\text{sesgo derecho} \\Rightarrow \\text{moda} < \\text{mediana} < \\text{media}"], contexto=("La media y la desviación describen el centro y el ancho de una " "distribución, pero no su FORMA —y dos distribuciones con la misma " "media y desviación pueden verse completamente distintas—. La " "asimetría es la primera medida de forma: dice si la distribución " "es simétrica o si tiene una COLA más larga hacia un lado. " "Formalmente es el tercer momento estandarizado, γ₁ = " "E[(X−μ)³]/σ³: se elevan las desviaciones al CUBO (no al cuadrado " "como en la varianza), y el cubo conserva el signo, así que las " "desviaciones grandes de un lado no se cancelan con las del otro " "—si hay más 'peso' lejos hacia la derecha, γ₁ sale positivo—. Una " "asimetría positiva significa cola a la derecha: la mayoría de los " "datos se apiña a la izquierda y unos pocos valores muy altos " "estiran la distribución —el patrón de los ingresos, los precios " "de vivienda, los tiempos de espera, los tamaños de ciudades—. Una " "asimetría negativa es lo contrario (cola izquierda: notas de un " "examen fácil, edad de mortalidad). Cero es simétrica (la normal, " "e58). La consecuencia práctica más importante de la asimetría es " "el orden de las medidas de centro, que ya asomó en e18: en una " "distribución con sesgo a la derecha, la MODA (el pico) queda a la " "izquierda, la MEDIANA en el medio, y la MEDIA a la derecha, " "arrastrada por la cola larga. Por eso 'media mucho mayor que " "mediana' es la señal inconfundible de sesgo a la derecha, y por " "eso reportar solo la media de una variable sesgada engaña: el " "ingreso 'promedio' de un país es siempre mayor que el ingreso de " "la persona típica (la mediana), porque los muy ricos lo estiran. " "La asimetría también importa para elegir métodos: muchas técnicas " "suponen simetría o normalidad, y un sesgo fuerte obliga a " "transformar los datos (el logaritmo, e142, es el remedio clásico " "para el sesgo derecho, porque comprime la cola)."), autores=("Los momentos y la asimetría: Karl Pearson (sistema de curvas y " "momentos, 1890s) — mención histórica. Conocimiento estadístico " "general."), supuestos=[ "Datos cuantitativos; la asimetría usa el tercer momento, que exige distancias y magnitudes.", "Es una medida GLOBAL de forma: resume la asimetría en un número, pero no localiza dónde (una distribución puede tener rasgos asimétricos que se compensen).", "No es robusta: el cubo de las desviaciones amplifica los extremos, así que la asimetría muestral es muy sensible a los outliers (hay versiones robustas basadas en cuantiles).", ], ecuaciones=[ Ecuacion("\\gamma_1 = \\frac{E[(X-\\mu)^3]}{\\sigma^3}", "asimetría (3er momento estandarizado)", "el promedio de las desviaciones al CUBO, estandarizado: el cubo conserva el signo, así " "que mide si hay más peso lejos hacia un lado — positivo = cola derecha."), Ecuacion("\\gamma_1 > 0 \\Rightarrow \\text{cola derecha}", "el signo es la dirección", "positivo estira a la derecha (ingresos, precios), negativo a la izquierda, cero " "simétrica: el signo de la asimetría dice hacia dónde va la cola larga."), Ecuacion("\\text{sesgo derecho}: \\text{moda} < \\text{mediana} < \\text{media}", "el orden delata el sesgo", "con cola derecha la media (arrastrada, e17) supera a la mediana (robusta, e18), que " "supera a la moda (el pico): media≫mediana es la señal del sesgo."), ], intuicion=("La asimetría es la que explica por qué 'el promedio' engaña " "tanto en el mundo real: casi todo lo que importa —ingresos, " "precios, tiempos, tamaños— está sesgado a la derecha, con una " "cola de valores enormes que jala la media muy por encima de lo " "típico. Cuando lees que el sueldo 'promedio' de una industria es " "X, y sospechas que casi nadie gana X, tu intuición está " "detectando asimetría: unos pocos ejecutivos con sueldos " "estratosféricos inflan el promedio, y la mediana (lo que gana la " "persona del medio) es mucho menor. La regla mental es simple y " "poderosa: si media > mediana, hay cola a la derecha, y la " "mediana es la cifra honesta; si media < mediana, cola a la " "izquierda. La asimetría también es una advertencia metodológica: " "el sesgo fuerte rompe los supuestos de muchas herramientas (que " "esperan simetría), y el remedio clásico es transformar —tomar " "logaritmos comprime la cola derecha y a menudo devuelve la " "simetría—, razón por la cual los economistas trabajan con el " "'log del ingreso' y los biólogos con escalas logarítmicas. Ver " "la forma antes de resumir, y elegir la medida y la transformación " "según esa forma, es lo que distingue el análisis honesto del " "automático."), equilibrio=("La asimetría γ₁ es cero para distribuciones simétricas, positiva " "para cola derecha, negativa para izquierda. Determina el orden " "moda-mediana-media (con sesgo derecho, en ese orden creciente). " "No es robusta (el cubo amplifica outliers). No hay 'equilibrio': " "es un descriptor de forma."), limitaciones=[ "No robusta: el cubo de las desviaciones magnifica los extremos, así que un outlier puede dominar la asimetría muestral (hay versiones robustas por cuantiles).", "Medida global: un solo número no dice DÓNDE está la asimetría; distribuciones distintas pueden compartir γ₁.", "Sensible al tamaño de muestra: con pocos datos, la asimetría muestral es muy variable y poco fiable (los momentos altos necesitan muchos datos).", ], evolucion=("Añade la primera medida de FORMA (tras centro, e17-e19, y " "dispersión, e27-e29), formalizando el orden moda-mediana-media " "de e18. Su compañera es la CURTOSIS (e31, cuarto momento: colas " "y pico). Motiva la transformación logarítmica (e142) y la " "distribución lognormal (e59). La detección de asimetría es clave " "para elegir entre media y mediana (e18), para leer distribuciones " "de ingreso (e25) y para verificar supuestos de normalidad " "(e122, Shapiro-Wilk) antes de aplicar métodos paramétricos."), ), escenarios=[ Escenario("muy_sesgada", "fuerte sesgo a la derecha (k = 2)", {"k": 2.0}, "con k=2 la distribución tiene una cola larga a la derecha " "(asimetría ≈ +1.4): la mayoría de los datos abajo, unos pocos muy " "altos. Media ≫ mediana ≫ moda — el patrón de los ingresos.", cadena=["forma k=2 (muy sesgada)", "cola larga a la derecha (γ₁≈+1.4)", "unos pocos valores muy altos estiran la media", "moda < mediana < media (ingresos)"]), Escenario("casi_simetrica", "casi simétrica (k = 50)", {"k": 50.0}, "con k grande la Gamma se acerca a una normal: la asimetría → 0 y " "las tres medidas de centro casi coinciden. Cuando media ≈ mediana " "≈ moda, la distribución es simétrica y da igual cuál reportar.", cadena=["forma k=50 (casi simétrica)", "asimetría → 0 (por el TCL, e67)", "media ≈ mediana ≈ moda", "distribución simétrica — cualquier medida sirve"]), ], verificaciones=[ Verificacion("el signo indica la cola (sesgo derecho → γ₁>0)", _v_signo_indica_cola), Verificacion("simétrica → asimetría ≈ 0", _v_simetrica_cero), Verificacion("sesgo derecho: moda < mediana < media", _v_orden_medidas), Verificacion("γ₁ coincide con la teórica (2/√k de la Gamma)", _v_coincide_teorica), ], notas="Asimetría γ₁=E[(X−μ)³]/σ³ (3er momento): +cola derecha (ingresos), −izquierda, 0 simétrica. El cubo conserva el signo. Huella: sesgo derecho ⇒ moda