"""simuladores/estadistica/modelos/nivel_02/e31_curtosis.py — la curtosis (sección II, tema 31). La segunda medida de forma: cuán PESADAS son las colas de la distribución —es decir, cuán frecuentes son los valores extremos—. Es el cuarto momento estandarizado, γ₂ = E[(X−μ)⁴]/σ⁴; se resta 3 (la curtosis de la normal) para obtener el EXCESO de curtosis. Exceso > 0 = colas PESADAS (leptocúrtica: más eventos extremos que la normal, los 'cisnes negros' de las finanzas); exceso < 0 = colas ligeras (platicúrtica). La lección cara: los retornos financieros tienen colas pesadas, así que los modelos que suponen normalidad SUBESTIMAN el riesgo de catástrofe. El modelo compara una t de Student (colas ajustables) contra la normal y cuenta cuántos eventos a >3σ aparecen. """ import numpy as np from base import Ecuacion, Escenario, Ficha, Modelo, Parametro, Verificacion import config _N = 200000 def _datos(df): """t de Student con df grados de libertad: colas MUY pesadas si df chico, → normal si df grande. Se estandariza a varianza 1.""" rng = np.random.default_rng(11) t = rng.standard_t(float(df), _N) return t / t.std() # varianza 1 para comparar formas def _curtosis(x): z = (x - x.mean()) / x.std() return float(np.mean(z ** 4)) # curtosis (normal = 3) def _densidad_normal(x): return np.exp(-x ** 2 / 2) / np.sqrt(2 * np.pi) def _densidad(x, bins=200, rango=(-6, 6)): d, b = np.histogram(x, bins=bins, range=rango, density=True) return (b[:-1] + b[1:]) / 2, d def _curvas(p): x = _datos(p["df"]) cx, cy = _densidad(x) nx = np.linspace(-6, 6, 300) exceso = _curtosis(x) - 3 p_extremo = float(np.mean(np.abs(x) > 3)) return {"lineas": {"t de Student (colas pesadas)": (cx, cy, config.AZUL2), "normal (referencia, curtosis 3)": (nx, _densidad_normal(nx), config.GRIS)}, "puntos": [(3.0, _densidad_normal(3.0), "±3σ"), (-3.0, _densidad_normal(-3.0), "")], "anotacion": (f"curtosis = {_curtosis(x):.1f} (exceso {exceso:+.1f})\n" f"eventos a más de 3σ: {p_extremo*100:.1f}% (normal: 0.27%)\n" "colas pesadas = más 'cisnes negros' que lo que la normal predice")} def _resultados(p): x = _datos(p["df"]) return {"grados de libertad (df)": float(p["df"]), "curtosis γ₂ = E[(X−μ)⁴]/σ⁴": _curtosis(x), "exceso de curtosis (γ₂ − 3)": _curtosis(x) - 3, "P(|z| > 3) en estos datos (%)": float(np.mean(np.abs(x) > 3) * 100), "P(|z| > 3) en una normal (%)": 0.27, "veces más eventos extremos que la normal": float(np.mean(np.abs(x) > 3) / 0.0027)} def _ecuaciones_calibradas(p): x = _datos(p["df"]) return [f"\\gamma_2 = \\frac{{E[(X-\\mu)^4]}}{{\\sigma^4}} = {_curtosis(x):.1f}\\ \\text{{(4º momento; normal}}=3)", f"\\text{{exceso}} = {_curtosis(x)-3:+.1f} > 0 \\Rightarrow \\text{{colas PESADAS (más eventos extremos)}}"] _P0 = {"df": 4.0} def _v_normal_curtosis_tres(): x = _datos(200.0) # df grande → normal return abs(_curtosis(x) - 3.0) < 0.4, \ (f"con df grande (200) la t → normal y la curtosis → 3 ({_curtosis(x):.1f}): la NORMAL es la referencia " "(curtosis 3, exceso 0). Por eso se resta 3: el 'exceso' mide cuánto MÁS pesadas son las colas que en una normal") def _v_colas_pesadas(): x = _datos(3.0) # df chico → colas muy pesadas return _curtosis(x) - 3 > 1.0, \ (f"con df=3 las colas son PESADAS: exceso de curtosis = {_curtosis(x)-3:+.1f} > 0 (leptocúrtica). Los " "valores extremos son mucho más frecuentes que en una normal — el patrón de los retornos financieros") def _v_mas_eventos_extremos(): x = _datos(3.0) p_ext = float(np.mean(np.abs(x) > 3)) return p_ext > 0.01, \ (f"colas pesadas = más catástrofes: a más de 3σ hay {p_ext*100:.1f}% de los datos, contra 0.27% en una " f"normal ({p_ext/0.0027:.0f}× más). Un modelo que supone normalidad SUBESTIMA el riesgo de eventos extremos (cisnes negros)") def _v_cuarto_momento(): # la curtosis eleva a la CUARTA: castiga los extremos aún más que la varianza (cuadrado) x = _datos(4.0) z = (x - x.mean()) / x.std() return abs(_curtosis(x) - float(np.mean(z ** 4))) < 1e-6, \ (f"la curtosis es el 4º momento estandarizado (={_curtosis(x):.1f}): elevar a la CUARTA amplifica los " "valores lejanos aún más que el cuadrado de la varianza (e27), por eso mide el peso de las colas") MODELO = Modelo( id="e31", nivel=2, nombre="La curtosis (colas pesadas)", xlabel="valor (en desviaciones)", ylabel="densidad", parametros=[ Parametro("df", _P0["df"], 2.5, 200.0, 0.5, "Grados de libertad de la t (colas)", grupo="descriptiva", definicion="df chico → colas muy pesadas (curtosis alta); df grande → normal (curtosis 3)"), ], curvas=_curvas, resultados=_resultados, ecuaciones_calibradas=_ecuaciones_calibradas, ficha=Ficha( pregunta="Dos distribuciones con la misma media y desviación, ¿pueden diferir en algo peligroso? (Sí: en cuántos extremos producen.)", variables=[("γ₂", "curtosis = E[(X−μ)⁴]/σ⁴ (cuarto momento estandarizado)"), ("exceso", "γ₂ − 3: cuánto más pesadas que la normal"), ("colas", "pesadas (leptocúrtica) o ligeras (platicúrtica)")], derivacion=["\\gamma_2 = \\frac{E[(X-\\mu)^4]}{\\sigma^4} \\;(\\text{4º momento estandarizado})", "\\text{normal: } \\gamma_2 = 3 \\Rightarrow \\text{exceso} = \\gamma_2 - 3", "\\text{exceso} > 0 : \\text{colas PESADAS (más extremos)}", "\\text{exceso} < 0 : \\text{colas ligeras}"], contexto=("La curtosis mide algo que ni el centro, ni la dispersión, ni la " "asimetría capturan: cuán PESADAS son las colas de la " "distribución, es decir, con qué frecuencia aparecen valores " "extremos. Es el cuarto momento estandarizado, γ₂ = E[(X−μ)⁴]/σ⁴; " "elevar las desviaciones a la CUARTA potencia amplifica los " "valores lejanos todavía más que el cuadrado de la varianza, de " "modo que la curtosis está dominada por lo que pasa en los " "extremos. La distribución normal tiene curtosis exactamente 3, y " "por eso se define el EXCESO de curtosis como γ₂ − 3: mide cuánto " "más (o menos) pesadas son las colas comparadas con las de una " "normal. Un exceso positivo (distribución LEPTOCÚRTICA) significa " "colas pesadas: los eventos extremos son mucho más frecuentes de " "lo que la normal predice. Un exceso negativo (platicúrtica) " "significa colas ligeras, casi acotadas (la uniforme es el " "ejemplo). Y aquí está la lección más cara de toda la estadística " "aplicada: los retornos financieros tienen colas PESADAS. Los " "crashes, las crisis, los días de −20% ocurren muchísimo más " "seguido que lo que un modelo gaussiano supone —un movimiento que " "la normal declara imposible una vez cada varios milenios ocurre " "cada pocos años—. Los modelos de riesgo que asumieron normalidad " "(y subestimaron las colas) están detrás de desastres como el " "colapso de LTCM (1998) y la crisis de 2008: no vieron venir los " "'cisnes negros' porque sus modelos los declaraban casi " "imposibles. La curtosis es, entonces, la medida del riesgo de " "catástrofe, y la razón por la que en finanzas y en gestión de " "riesgo se usan distribuciones de colas pesadas (t de Student, " "leyes de potencia) en lugar de la cómoda normal. Nota importante: " "la curtosis mide colas, NO 'picudez' —un mito común es que mide " "cuán puntiaguda es la distribución; en realidad, colas y pico " "están relacionados, pero lo que la curtosis captura es el peso de " "los extremos—."), autores=("Los momentos y la curtosis: Karl Pearson (quien acuñó " "'curtosis', 1905); la crítica a la normalidad en finanzas y las " "colas pesadas: Mandelbrot (1963), Taleb (cisnes negros) — " "menciones. Conocimiento estadístico general."), supuestos=[ "Datos cuantitativos; la curtosis usa el cuarto momento, dominado por los extremos, así que necesita MUCHOS datos para estimarse con fiabilidad.", "El exceso se define respecto a la normal (curtosis 3): 'colas pesadas' significa 'más pesadas que una gaussiana', no en abstracto.", "La curtosis mide el peso de las COLAS (frecuencia de extremos), no la 'picudez' del centro (un malentendido común); ambas cosas correlacionan pero no son lo mismo.", ], ecuaciones=[ Ecuacion("\\gamma_2 = \\frac{E[(X-\\mu)^4]}{\\sigma^4}", "curtosis (4º momento estandarizado)", "el promedio de las desviaciones a la CUARTA, estandarizado: la cuarta potencia amplifica " "los extremos, así que γ₂ mide el peso de las colas."), Ecuacion("\\text{exceso} = \\gamma_2 - 3", "exceso sobre la normal", "se resta la curtosis de la normal (3): el exceso mide cuánto más pesadas son las colas " "que en una gaussiana — positivo = más eventos extremos."), Ecuacion("\\text{exceso} > 0 \\Rightarrow \\text{cisnes negros}", "colas pesadas = riesgo", "colas pesadas significan que los extremos ocurren mucho más seguido que lo que la normal " "predice: el riesgo de catástrofe que los modelos gaussianos subestiman."), ], intuicion=("La curtosis es la medida de 'lo que puede salir muy mal'. Dos " "inversiones con el mismo retorno promedio y la misma volatilidad " "(desviación) pueden ser radicalmente distintas si una tiene " "colas pesadas: esa producirá, de vez en cuando, un desastre que " "la otra nunca vería. La desviación estándar te dice cómo se " "mueven las cosas en un día normal; la curtosis te advierte sobre " "los días ANORMALES. La gran lección —aprendida a golpes por el " "sistema financiero— es que el mundo real tiene colas mucho más " "gordas que la cómoda campana de Gauss: los terremotos, las " "crisis, las pandemias, los éxitos virales y los fraudes viven en " "las colas, y un modelo que las supone finas está ciego " "justamente ante lo que más importa. Por eso Nassim Taleb " "popularizó los 'cisnes negros': eventos que los modelos declaran " "casi imposibles pero que definen la historia. La estadística " "madura respeta las colas: usa distribuciones de colas pesadas " "cuando corresponde, no confía en la normalidad por comodidad, y " "recuerda que la curtosis muestral es traicionera —depende de " "unos pocos extremos, así que con pocos datos puede engañar en " "cualquier dirección—. Ver la curtosis es, en el fondo, tener " "humildad ante lo raro: aceptar que lo que no ha pasado todavía " "puede pasar, y más seguido de lo que la campana promete."), equilibrio=("La curtosis γ₂ es 3 para la normal (exceso 0); mayor para colas " "pesadas (leptocúrtica: t de Student, retornos financieros), " "menor para colas ligeras (platicúrtica: uniforme). Domina por " "los extremos (cuarta potencia). No es robusta y necesita muchos " "datos. No hay 'equilibrio': es un descriptor del peso de las " "colas."), limitaciones=[ "Muy poco robusta y ávida de datos: al elevar a la cuarta, unos pocos outliers dominan la curtosis muestral, que con n pequeño es sumamente inestable.", "Mide colas, no 'picudez': interpretarla como cuán puntiaguda es la distribución es un error común; captura el peso de los extremos.", "Un solo número global: no distingue si las colas pesadas están a la izquierda, a la derecha o en ambas (para eso, mirar la distribución completa y la asimetría e30).", ], evolucion=("Completa las medidas de FORMA con la asimetría (e30): asimetría " "(3er momento) para la dirección de la cola, curtosis (4º momento) " "para su peso. Motiva las distribuciones de colas pesadas frente " "a la normal (e58): la t de Student (e62), las leyes de potencia, " "y toda la gestión de riesgo. Su lección —no confiar en la " "normalidad— reaparece en las pruebas de normalidad (e120-e122) y " "en el riesgo financiero (VaR, e24, y sus fallos). Con e30-e31, la " "descriptiva describe la distribución completa: centro, " "dispersión, forma y rarezas — lista para la probabilidad (sección III)."), ), escenarios=[ Escenario("colas_pesadas", "colas muy pesadas (df = 3): riesgo de cisne negro", {"df": 3.0}, "con df=3, la t tiene colas gordísimas: exceso de curtosis alto y " "muchos más eventos a >3σ que una normal. Es el patrón de los " "retornos financieros — los crashes ocurren mucho más seguido de " "lo que la campana predice.", cadena=["df = 3 (colas muy pesadas)", "exceso de curtosis alto (leptocúrtica)", "muchos eventos extremos (>3σ)", "riesgo de catástrofe subestimado por la normal"]), Escenario("casi_normal", "colas normales (df = 100)", {"df": 100.0}, "con df grande la t es casi una normal: curtosis ≈ 3, exceso ≈ 0, " "y los eventos a >3σ vuelven a ser raros (0.27%). Cuando las colas " "son normales, la campana de Gauss es un buen modelo — y solo " "entonces.", cadena=["df = 100 (colas normales)", "curtosis → 3 (exceso → 0)", "eventos a >3σ vuelven a ser raros (0.27%)", "la normal es buen modelo — solo aquí"]), ], verificaciones=[ Verificacion("la normal tiene curtosis 3 (exceso 0)", _v_normal_curtosis_tres), Verificacion("colas pesadas → exceso de curtosis > 0", _v_colas_pesadas), Verificacion("colas pesadas → muchos más eventos extremos", _v_mas_eventos_extremos), Verificacion("curtosis = cuarto momento estandarizado", _v_cuarto_momento), ], notas="Curtosis γ₂=E[(X−μ)⁴]/σ⁴ (4º momento): peso de las COLAS. Normal=3; exceso=γ₂−3. Exceso>0 = colas pesadas (leptocúrtica): más eventos extremos ('cisnes negros'). Los retornos financieros tienen colas pesadas → los modelos gaussianos subestiman el riesgo de catástrofe. Mide colas, no picudez.", )