"""simuladores/estadistica/modelos/nivel_03/e34_experimentos_aleatorios.py — experimentos aleatorios (sección III, tema 34). La puerta de entrada a la probabilidad. Un experimento aleatorio es aquel cuyo resultado individual NO se puede predecir (lanzar una moneda, un dado), pero cuyo comportamiento COLECTIVO, al repetirlo muchas veces, es sorprendentemente estable y predecible. Esa es la paradoja fundadora de la probabilidad: del desorden de cada tirada emerge un orden en el agregado. El modelo lanza una moneda (posiblemente sesgada) miles de veces y muestra cómo la frecuencia relativa —caótica al principio— se estabiliza en la probabilidad verdadera. Es la intuición que la sección V (ley de los grandes números, e64) formalizará. """ import numpy as np from base import Ecuacion, Escenario, Ficha, Modelo, Parametro, Verificacion import config _N = 2000 # número de lanzamientos _RNG_SEMILLA = 12 def _trayectoria(p): """Frecuencia relativa acumulada de 'cara' a lo largo de N lanzamientos.""" rng = np.random.default_rng(_RNG_SEMILLA) caras = (rng.random(_N) < p).astype(float) return np.cumsum(caras) / np.arange(1, _N + 1) def _curvas(p): prob = p["p"] frec = _trayectoria(prob) n = np.arange(1, _N + 1) return {"lineas": {"frecuencia relativa de cara (acumulada)": (n, frec, config.AZUL2), f"probabilidad verdadera = {prob:.2f}": (n, np.full(_N, prob), config.ROJO)}, "puntos": [(10, frec[9], f"n=10: {frec[9]:.2f} (errático)"), (_N, frec[-1], f"n={_N}: {frec[-1]:.3f} (≈{prob:.2f})")], "anotacion": (f"una moneda con P(cara) = {prob:.2f}, lanzada {_N} veces\n" f"cada lanzamiento es impredecible, pero la frecuencia se ESTABILIZA en {prob:.2f}\n" "del azar individual emerge un patrón colectivo (→ ley de los grandes números, e64)")} def _resultados(p): prob = p["p"] frec = _trayectoria(prob) return {"probabilidad verdadera P(cara)": prob, "frecuencia tras 10 lanzamientos": float(frec[9]), "frecuencia tras 100 lanzamientos": float(frec[99]), "frecuencia tras 2000 lanzamientos": float(frec[-1]), "error a los 10 (|frec − p|)": float(abs(frec[9] - prob)), "error a los 2000 (|frec − p|)": float(abs(frec[-1] - prob))} def _ecuaciones_calibradas(p): prob = p["p"] frec = _trayectoria(prob) return [f"\\text{{frecuencia relativa}} = \\frac{{\\#\\,\\text{{caras}}}}{{n}} \\longrightarrow P(\\text{{cara}}) = {prob:.2f}\\ (n\\to\\infty)", f"n=10:\\ {frec[9]:.2f}\\ \\text{{(errático)}};\\quad n={_N}:\\ {frec[-1]:.3f}\\ \\text{{(estable)}}"] _P0 = {"p": 0.5} def _v_estabiliza_en_p(): prob = 0.5 frec = _trayectoria(prob) return abs(frec[-1] - prob) < 0.03, \ (f"la frecuencia relativa se ESTABILIZA en la probabilidad verdadera: tras {_N} lanzamientos de una " f"moneda justa da {frec[-1]:.3f} ≈ 0.50 — del azar de cada tirada emerge un patrón colectivo estable") def _v_corto_plazo_erratico(): prob = 0.5 frec = _trayectoria(prob) return abs(frec[9] - prob) > abs(frec[-1] - prob), \ (f"a corto plazo es ERRÁTICO: con 10 lanzamientos la frecuencia ({frec[9]:.2f}) puede estar lejos de 0.50; " "con muchos se acerca. Por eso 'la ley de los promedios' del corto plazo (creer que tras varias caras 'toca' sello) es una FALACIA (e68)") def _v_error_decrece(): prob = 0.5 frec = _trayectoria(prob) err10 = abs(frec[9] - prob) err2000 = abs(frec[-1] - prob) return err2000 < err10, \ (f"el error decrece con n: |frec−p| baja de {err10:.2f} (n=10) a {err2000:.3f} (n={_N}) — más repeticiones, " "más cerca de la probabilidad verdadera; es la esencia de la definición frecuentista (e38) y de la LGN (e64)") def _v_sesgada_converge_a_su_p(): prob = 0.8 frec = _trayectoria(prob) return abs(frec[-1] - prob) < 0.03, \ (f"con una moneda SESGADA (P(cara)=0.8), la frecuencia converge a 0.8 ({frec[-1]:.3f}), no a 0.5: la " "estabilización es hacia la probabilidad VERDADERA, sea cual sea — el experimento revela su propia ley") MODELO = Modelo( id="e34", nivel=3, nombre="Experimentos aleatorios", xlabel="número de lanzamientos n", ylabel="frecuencia relativa de cara", parametros=[ Parametro("p", _P0["p"], 0.1, 0.9, 0.05, "Probabilidad verdadera de cara", grupo="probabilidad", definicion="la moneda puede estar sesgada; la frecuencia converge a este valor, no siempre a 0.5"), ], curvas=_curvas, resultados=_resultados, ecuaciones_calibradas=_ecuaciones_calibradas, ficha=Ficha( pregunta="No puedo predecir un lanzamiento de moneda, pero puedo predecir 10.000 con precisión. ¿Cómo emerge orden del azar?", variables=[("experimento aleatorio", "proceso de resultado individual impredecible"), ("frecuencia relativa", "# de éxitos / # de intentos"), ("P(A)", "probabilidad: el valor al que la frecuencia se estabiliza")], derivacion=["\\text{un ensayo: resultado impredecible (cara o sello)}", "n \\text{ ensayos: frecuencia relativa} = \\tfrac{\\#\\,\\text{éxitos}}{n}", "n \\to \\infty : \\text{frecuencia} \\to P(A) \\;(\\text{estable})", "\\text{orden colectivo a partir del azar individual}"], contexto=("La probabilidad nace de una observación que parece " "contradictoria: hay fenómenos cuyo resultado individual es " "completamente impredecible pero cuyo comportamiento agregado es " "asombrosamente regular. No puedes saber si la próxima moneda " "caerá cara o sello —si pudieras, no sería aleatorio—, y sin " "embargo puedes afirmar con enorme confianza que en un millón de " "lanzamientos habrá cerca de medio millón de caras. Un experimento " "ALEATORIO es precisamente eso: un proceso que se puede repetir en " "condiciones similares, cuyo resultado particular no está " "determinado, pero cuyos resultados posibles se conocen y cuya " "distribución de largo plazo es estable. Lanzar una moneda, tirar " "un dado, extraer una carta, medir cuántos clientes llegan en una " "hora, observar si un paciente responde a un tratamiento: todos " "son experimentos aleatorios. La probabilidad es la disciplina que " "estudia esa regularidad oculta en el azar. El modelo lo hace " "visible con el ejemplo más simple, la moneda: al graficar la " "frecuencia relativa de caras a medida que se acumulan los " "lanzamientos, se ve el fenómeno central —al principio la " "frecuencia salta de forma errática (con 10 lanzamientos puede dar " "0.3 o 0.7 sin problema), pero conforme n crece, se va calmando y " "converge hacia la probabilidad verdadera—. Esta convergencia de " "la frecuencia hacia la probabilidad es la intuición que funda " "TODA la probabilidad y la estadística: es lo que permite estimar " "probabilidades desconocidas repitiendo experimentos (la " "definición frecuentista, e38), lo que la ley de los grandes " "números formaliza (e64), y lo que hace que las muestras " "'representen' a las poblaciones (e02). Y trae una advertencia " "crucial: la estabilidad es de LARGO plazo. A corto plazo el azar " "es caprichoso, y creer que 'tras cuatro caras seguidas toca " "sello' —la falacia del jugador— es malentender por completo cómo " "funciona: la moneda no tiene memoria, cada lanzamiento es " "independiente (e41), y la ley de los grandes números no 'corrige' " "los desvíos, simplemente los diluye con muchísimos ensayos más."), autores=("La probabilidad como estudio del azar regular: de los juegos de " "dados (Cardano, s. XVI; Pascal y Fermat, 1654) a su formalización " "(Kolmogórov, 1933) — menciones. Conocimiento estadístico general."), supuestos=[ "El experimento es REPETIBLE en condiciones esencialmente iguales y sus ensayos son INDEPENDIENTES (e41): la moneda no tiene memoria.", "El resultado individual es impredecible pero el conjunto de resultados posibles (el espacio muestral, e35) se conoce.", "La regularidad es de LARGO plazo: a corto plazo la frecuencia es errática; la estabilización requiere muchas repeticiones.", ], ecuaciones=[ Ecuacion("\\text{frecuencia relativa} = \\frac{\\#\\,\\text{éxitos}}{n}", "frecuencia relativa", "la proporción de veces que ocurre el evento en n ensayos: caótica con n pequeño, " "estable con n grande."), Ecuacion("\\frac{\\#\\,\\text{éxitos}}{n} \\longrightarrow P(A) \\;(n\\to\\infty)", "convergencia a la probabilidad", "la frecuencia relativa se estabiliza en la probabilidad verdadera: la regularidad " "oculta en el azar, base de toda la estadística."), Ecuacion("\\text{cada ensayo independiente (sin memoria)}", "no hay 'ley de promedios' de corto plazo", "la moneda no recuerda las tiradas previas; la estabilización diluye los desvíos con más " "ensayos, no los compensa — la falacia del jugador (e68)."), ], intuicion=("El experimento aleatorio encierra la idea más profunda y más " "contraintuitiva de toda la estadística: que el azar tiene leyes. " "Parece un oxímoron —si es azar, ¿cómo va a ser predecible?—, pero " "la resolución es que la predictibilidad no está en el evento " "individual sino en el AGREGADO. Es como un río: no puedes " "predecir el camino de una gota, pero el caudal del río es " "estable y medible. Esa dualidad —caos individual, orden " "colectivo— es lo que permite que existan las casas de apuestas y " "las aseguradoras (no saben si TÚ tendrás un accidente, pero saben " "con precisión cuántos de sus millones de asegurados lo tendrán), " "las encuestas (no saben cómo votarás tú, pero estiman el " "resultado con una muestra), y la física estadística entera. La " "trampa mental que hay que desarmar es la falacia del jugador: " "creer que el azar 'se acuerda' y 'compensa'. No lo hace. Si " "salieron diez caras seguidas, la probabilidad de cara en la " "próxima sigue siendo 0.5 —la moneda no tiene memoria ni sentido " "de justicia—. La frecuencia converge a 0.5 no porque los sellos " "'apuren' para emparejar, sino porque diez caras extra se vuelven " "insignificantes cuando el denominador llega a millones. Entender " "esto —que la estabilidad es asintótica y sin memoria— es el " "primer paso para pensar con probabilidad en vez de con " "supersticiones."), equilibrio=("No hay equilibrio que resolver: hay convergencia. La frecuencia " "relativa de un experimento aleatorio se estabiliza en su " "probabilidad verdadera conforme crece el número de ensayos " "independientes, sea cual sea esa probabilidad (0.5 para una " "moneda justa, otra para una sesgada). La estabilidad es de largo " "plazo; el corto plazo es errático."), limitaciones=[ "La regularidad exige repetibilidad e independencia: experimentos que cambian las condiciones o cuyos ensayos se influyen (rachas reales, contagio) no convergen tan limpiamente.", "Es una intuición, no una demostración: que la frecuencia converge se prueba en la ley de los grandes números (e64), bajo supuestos precisos.", "No dice NADA del corto plazo: la frecuencia con pocos ensayos es engañosa, y confundir el largo con el corto plazo es la raíz de la falacia del jugador y de sobreinterpretar muestras pequeñas.", ], evolucion=("Abre la probabilidad estableciendo su objeto —el azar regular— y " "su intuición central —la frecuencia converge a la probabilidad—. " "De aquí se despliega la maquinaria: el espacio muestral (e35) y " "los eventos (e36) formalizan los resultados; las definiciones " "clásica (e37) y frecuentista (e38) dan valor a P; la convergencia " "que aquí se ve se prueba en la ley de los grandes números (e64) y " "se refina en el teorema central del límite (e67). La " "independencia (e41) y la advertencia contra la falacia del " "jugador quedan planteadas."), ), escenarios=[ Escenario("moneda_justa", "moneda justa (p = 0.5)", {"p": 0.5}, "con una moneda justa, la frecuencia de caras baila alrededor de " "0.5 y se va calmando hacia ese valor: el caso simétrico, la " "intuición básica del azar equilibrado.", cadena=["moneda justa P(cara)=0.5", "cada lanzamiento impredecible", "la frecuencia oscila y se estabiliza en 0.5", "orden colectivo del azar simétrico"]), Escenario("moneda_sesgada", "moneda sesgada (p = 0.8)", {"p": 0.8}, "con una moneda cargada (80% caras), la frecuencia converge a 0.8, " "no a 0.5: la estabilización es hacia la probabilidad VERDADERA, " "sea cual sea. Repetir el experimento revela su ley oculta — la " "base de estimar probabilidades desconocidas (e38).", cadena=["moneda sesgada P(cara)=0.8", "cada lanzamiento sigue impredecible", "la frecuencia converge a 0.8 (no a 0.5)", "el experimento revela su probabilidad verdadera"]), ], verificaciones=[ Verificacion("la frecuencia se estabiliza en la probabilidad verdadera", _v_estabiliza_en_p), Verificacion("a corto plazo es errático (falacia del jugador, e68)", _v_corto_plazo_erratico), Verificacion("el error decrece con el número de ensayos", _v_error_decrece), Verificacion("una moneda sesgada converge a SU probabilidad", _v_sesgada_converge_a_su_p), ], notas="Experimento aleatorio: resultado individual impredecible, comportamiento colectivo estable. La frecuencia relativa converge a la probabilidad verdadera (base de e38 y de la LGN, e64). Estabilidad de LARGO plazo: el corto plazo es errático, y creer que 'toca' compensar es la falacia del jugador (moneda sin memoria, e41).", )