"""simuladores/estadistica/modelos/nivel_03/e36_eventos.py — los eventos y sus operaciones (sección III, tema 36). Un EVENTO es un subconjunto del espacio muestral (e35): 'sacar par', 'suma ≥ 8', 'al menos un 6'. Sobre los eventos operan la teoría de conjuntos —unión (A o B), intersección (A y B), complemento (no A)— y sus probabilidades siguen reglas exactas. La central es la de INCLUSIÓN-EXCLUSIÓN: P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B); si uno suma P(A)+P(B) a secas, cuenta DOS VECES la parte común y sobrestima. El modelo usa dos dados (Ω de 36 pares), fija B='al menos un 6' y deja mover el umbral de A='suma ≥ t' para ver la unión correcta contra la suma ingenua: la brecha entre ambas es exactamente P(A∩B). """ import numpy as np from itertools import product from base import Ecuacion, Escenario, Ficha, Modelo, Parametro, Verificacion import config _OMEGA = list(product(range(1, 7), range(1, 7))) # 36 pares (d1, d2) _N = len(_OMEGA) # 36 def _P(cond): return sum(1 for d in _OMEGA if cond(d)) / _N def _A(t): return lambda d: (d[0] + d[1]) >= t # suma ≥ t def _B(d): return d[0] == 6 or d[1] == 6 # al menos un 6 def _curvas(p): t = int(p["t"]) ts = np.arange(2, 13) union = np.array([_P(lambda d, tt=tt: _A(tt)(d) or _B(d)) for tt in ts]) naive = np.array([_P(_A(tt)) + _P(_B) for tt in ts]) inter = np.array([_P(lambda d, tt=tt: _A(tt)(d) and _B(d)) for tt in ts]) return {"lineas": {"P(A∪B) correcta (inclusión-exclusión)": (ts, union, config.AZUL2), "P(A)+P(B) ingenua (sobrestima)": (ts, naive, config.ROJO), "P(A∩B) (la parte contada dos veces)": (ts, inter, config.DORADO)}, "puntos": [(t, _P(lambda d: _A(t)(d) or _B(d)), f"t={t}: P(A∪B)={_P(lambda d: _A(t)(d) or _B(d)):.2f}")], "anotacion": (f"A = 'suma ≥ {t}', B = 'al menos un 6' (dos dados, |Ω|=36)\n" f"P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B) = {_P(_A(t)):.2f}+{_P(_B):.2f}−{_P(lambda d:_A(t)(d) and _B(d)):.2f} = {_P(lambda d:_A(t)(d) or _B(d)):.2f}\n" "la suma ingenua cuenta la intersección DOS veces (la sobrestima)")} def _resultados(p): t = int(p["t"]) pa, pb = _P(_A(t)), _P(_B) pinter = _P(lambda d: _A(t)(d) and _B(d)) punion = _P(lambda d: _A(t)(d) or _B(d)) return {"umbral t (A = suma ≥ t)": float(t), "P(A)": pa, "P(B)": pb, "P(A∩B) (A y B)": pinter, "P(A∪B) correcta": punion, "P(A)+P(B) ingenua (sobrestima en P(A∩B))": pa + pb, "P(complemento de A) = 1−P(A)": 1 - pa} def _ecuaciones_calibradas(p): t = int(p["t"]) pa, pb = _P(_A(t)), _P(_B) pinter = _P(lambda d: _A(t)(d) and _B(d)) return [f"P(A\\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\\cap B) = {pa:.2f}+{pb:.2f}-{pinter:.2f} = {pa+pb-pinter:.2f}", f"P(A^c) = 1 - P(A) = 1 - {pa:.2f} = {1-pa:.2f}\\ \\text{{(complemento)}}"] _P0 = {"t": 8} def _v_inclusion_exclusion(): t = 8 pa, pb = _P(_A(t)), _P(_B) pinter = _P(lambda d: _A(t)(d) and _B(d)) punion = _P(lambda d: _A(t)(d) or _B(d)) return abs(punion - (pa + pb - pinter)) < 1e-12, \ (f"regla de inclusión-exclusión: P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B) = {pa:.2f}+{pb:.2f}−{pinter:.2f} = {punion:.2f}. " "Restar P(A∩B) corrige el doble conteo de la parte común — sumar a secas sobrestima") def _v_sobrestima_naive(): t = 8 pa, pb = _P(_A(t)), _P(_B) punion = _P(lambda d: _A(t)(d) or _B(d)) return (pa + pb) > punion, \ (f"la suma ingenua P(A)+P(B) = {pa+pb:.2f} SOBRESTIMA la unión real ({punion:.2f}): cuenta dos veces los " "resultados que están en A y en B a la vez (suma ≥8 CON un 6) — el error clásico de olvidar la intersección") def _v_complemento(): t = 8 pa = _P(_A(t)) p_no_a = _P(lambda d: not _A(t)(d)) return abs(p_no_a - (1 - pa)) < 1e-12, \ (f"complemento: P(no A) = 1 − P(A) = 1 − {pa:.2f} = {1-pa:.2f}. A veces es MUCHO más fácil calcular lo " "contrario y restar (P(al menos uno) = 1 − P(ninguno)) — el truco del complemento") def _v_mutuamente_excluyentes(): # A='suma=2' y C='suma=12' son mutuamente excluyentes: P(A∪C)=P(A)+P(C) (sin restar) pa = _P(lambda d: d[0] + d[1] == 2) pc = _P(lambda d: d[0] + d[1] == 12) punion = _P(lambda d: d[0] + d[1] in (2, 12)) return abs(punion - (pa + pc)) < 1e-12, \ (f"si A y B son MUTUAMENTE EXCLUYENTES (no pueden ocurrir juntos, A∩B=∅), entonces P(A∪B)=P(A)+P(B) sin " f"restar: P(suma=2 o 12)={punion:.3f}={pa:.3f}+{pc:.3f} — la inclusión-exclusión se simplifica") MODELO = Modelo( id="e36", nivel=3, nombre="Los eventos y sus operaciones", xlabel="umbral t (A = 'suma ≥ t')", ylabel="probabilidad", parametros=[ Parametro("t", _P0["t"], 2, 12, 1, "Umbral del evento A (suma ≥ t)", grupo="probabilidad", definicion="A='suma≥t'; la brecha entre P(A)+P(B) y P(A∪B) es la intersección P(A∩B)"), ], curvas=_curvas, resultados=_resultados, ecuaciones_calibradas=_ecuaciones_calibradas, ficha=Ficha( pregunta="¿Cuál es la probabilidad de A o B? (No es P(A)+P(B) — a menos que no puedan pasar juntos.)", variables=[("A, B", "eventos: subconjuntos del espacio muestral"), ("A∪B, A∩B, Aᶜ", "unión (A o B), intersección (A y B), complemento (no A)"), ("inclusión-exclusión", "P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)")], derivacion=["\\text{evento} = \\text{subconjunto de } \\Omega \\;(e35)", "\\text{unión } A\\cup B,\\ \\text{intersección } A\\cap B,\\ \\text{complemento } A^c", "P(A\\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\\cap B) \\;(\\text{inclusión-exclusión})", "P(A^c) = 1 - P(A);\\quad A\\cap B = \\varnothing \\Rightarrow P(A\\cup B)=P(A)+P(B)"], contexto=("Un evento es cualquier subconjunto del espacio muestral: una " "colección de resultados que nos interesa agrupar bajo una " "pregunta ('¿salió par?', '¿la suma pasa de 8?', '¿hubo al menos " "un 6?'). Como los eventos son conjuntos, se combinan con las " "operaciones de la teoría de conjuntos —la UNIÓN A∪B ('A o B, o " "ambos'), la INTERSECCIÓN A∩B ('A y B a la vez') y el COMPLEMENTO " "Aᶜ ('no A')— y sus probabilidades siguen reglas exactas que son " "el álgebra básica de la incertidumbre. La regla más importante, y " "la que más se equivoca la gente, es la de la unión: P(A∪B) NO es " "P(A)+P(B). Sumar las dos probabilidades cuenta DOS VECES los " "resultados que pertenecen a ambos eventos, así que sobrestima. La " "corrección es la regla de INCLUSIÓN-EXCLUSIÓN: P(A∪B) = P(A) + " "P(B) − P(A∩B), donde se resta una vez la parte común para " "compensar el doble conteo. Solo cuando A y B son MUTUAMENTE " "EXCLUYENTES —no pueden ocurrir juntos, su intersección es vacía— " "la resta desaparece y P(A∪B) = P(A)+P(B). La otra regla " "imprescindible es la del COMPLEMENTO: P(Aᶜ) = 1 − P(A), que " "parece trivial pero es una de las herramientas más poderosas del " "cálculo de probabilidades, porque muchísimas veces es dramáticamente " "más fácil calcular la probabilidad de lo CONTRARIO. La pregunta " "'¿probabilidad de al menos un 6 en varios lanzamientos?' es " "engorrosa por inclusión-exclusión (hay muchos casos que se " "solapan), pero trivial por complemento: P(al menos uno) = 1 − " "P(ninguno), y 'ninguno' es un simple producto (e41). Dominar " "estas operaciones —unión con su corrección, complemento como " "atajo, intersección como 'y'— es saber traducir preguntas del " "lenguaje ('o', 'y', 'al menos', 'ninguno') al álgebra de la " "probabilidad, que es de lo que trata buena parte del oficio."), autores=("El álgebra de eventos y la probabilidad como medida sobre " "conjuntos: Kolmogórov (1933); la inclusión-exclusión es " "combinatoria clásica — menciones. Conocimiento estadístico general."), supuestos=[ "Los eventos son subconjuntos del mismo espacio muestral (e35); las operaciones (∪, ∩, ᶜ) son las de conjuntos.", "La inclusión-exclusión P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B) vale SIEMPRE; se simplifica a P(A)+P(B) solo si A∩B=∅ (mutuamente excluyentes).", "Mutuamente excluyente (no ocurren juntos) NO es lo mismo que independiente (e41, no se influyen): son conceptos distintos que se confunden a menudo.", ], ecuaciones=[ Ecuacion("P(A\\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\\cap B)", "inclusión-exclusión", "la probabilidad de 'A o B': se restan una vez los casos comunes para no contarlos dos " "veces — sumar a secas sobrestima."), Ecuacion("P(A^c) = 1 - P(A)", "complemento", "la probabilidad de 'no A' es 1 menos la de A: el atajo que convierte 'al menos uno' en " "'1 − ninguno', a menudo mucho más fácil."), Ecuacion("A\\cap B = \\varnothing \\Rightarrow P(A\\cup B) = P(A)+P(B)", "mutuamente excluyentes", "si los eventos no pueden ocurrir juntos, la unión es la suma simple: la " "inclusión-exclusión sin término de corrección."), ], intuicion=("Los eventos son la gramática de la probabilidad: 'o' es unión, " "'y' es intersección, 'no' es complemento, y traducir bien las " "preguntas a esta gramática es la mitad del trabajo. El error " "estrella —sumar P(A)+P(B) para la unión— nace de olvidar que las " "cosas pueden solaparse: la probabilidad de 'que llueva o que " "haga viento' no es la suma, porque los días de lluvia Y viento " "se contarían dos veces. La imagen del diagrama de Venn lo hace " "obvio: al sumar los dos círculos, la lente central va doble, y " "hay que restarla una vez. El truco del complemento es la otra " "gran arma: siempre que veas 'al menos uno', piensa en '1 menos " "ninguno', porque 'ninguno' suele ser un caso único y limpio " "mientras que 'al menos uno' es un enredo de casos solapados. Y " "una distinción que salva de muchos errores: mutuamente " "excluyente (no pueden pasar juntos) NO es independiente (no se " "influyen). Sacar un rey y sacar una reina en UNA carta son " "mutuamente excluyentes (una carta no es ambas) pero no " "independientes; la altura y el peso de una persona son " "'compatibles' pero no independientes. Confundirlos es de los " "errores más comunes, y la probabilidad condicional (e39) es " "quien los separa con precisión."), equilibrio=("Las operaciones de eventos obedecen: P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B) " "(siempre), P(Aᶜ)=1−P(A), y P(A∪B)=P(A)+P(B) solo si A∩B=∅. La " "suma ingenua siempre sobrestima (o iguala) la unión real. No " "hay 'equilibrio': es el álgebra de la incertidumbre."), limitaciones=[ "La inclusión-exclusión se complica con muchos eventos: para tres, P(A∪B∪C) suma singles, resta pares y vuelve a sumar el triple — crece en complejidad (por eso el complemento suele ser mejor para 'al menos uno').", "Mutuamente excluyente vs independiente: confundirlos lleva a aplicar la fórmula equivocada; son propiedades distintas (e41).", "Estas reglas dan probabilidades de combinaciones, pero NO capturan cómo un evento cambia la probabilidad de otro: eso es la probabilidad condicional (e39).", ], evolucion=("Construye el álgebra de eventos sobre el espacio muestral (e35): " "unión, intersección, complemento e inclusión-exclusión. La " "distinción mutuamente-excluyente vs independiente prepara la " "probabilidad condicional (e39) y la independencia (e41). El " "cálculo de P(evento) por conteo lleva a la probabilidad clásica " "(e37). Estas operaciones son la base para combinar " "probabilidades en toda la sección y en la inferencia."), ), escenarios=[ Escenario("solapados", "eventos que se solapan (suma ≥ 8 y un 6)", {"t": 8}, "A='suma≥8' y B='al menos un 6' se solapan (hay tiradas con un 6 " "y suma ≥8): sumar P(A)+P(B) sobrestima, hay que restar P(A∩B). El " "caso general de la inclusión-exclusión.", cadena=["A='suma≥8', B='al menos un 6'", "se solapan (un 6 puede dar suma ≥8)", "P(A)+P(B) cuenta el solapamiento dos veces", "restar P(A∩B) lo corrige (inclusión-exclusión)"]), Escenario("excluyentes", "eventos incompatibles (suma extrema)", {"t": 12}, "A='suma≥12' (solo 12) y 'suma=2' no pueden ocurrir juntos: son " "mutuamente excluyentes, y ahí sí P(A∪B)=P(A)+P(B) sin restar nada " "(la intersección es vacía).", cadena=["eventos incompatibles (suma=12 vs suma=2)", "no pueden ocurrir en la misma tirada", "intersección vacía (A∩B=∅)", "P(A∪B)=P(A)+P(B) sin corrección"]), ], verificaciones=[ Verificacion("inclusión-exclusión: P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)", _v_inclusion_exclusion), Verificacion("la suma ingenua P(A)+P(B) sobrestima la unión", _v_sobrestima_naive), Verificacion("complemento: P(Aᶜ)=1−P(A)", _v_complemento), Verificacion("mutuamente excluyentes: P(A∪B)=P(A)+P(B)", _v_mutuamente_excluyentes), ], notas="Evento = subconjunto de Ω. Operaciones: ∪(o), ∩(y), ᶜ(no). Inclusión-exclusión P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B): sumar a secas cuenta dos veces la intersección. Complemento P(Aᶜ)=1−P(A): el atajo para 'al menos uno'=1−'ninguno'. Excluyente (no juntos) ≠ independiente (no se influyen, e41).", )