"""simuladores/estadistica/modelos/nivel_03/e38_probabilidad_frecuentista.py — la probabilidad frecuentista (sección III, tema 38). La segunda definición de probabilidad, la que rescata los casos que la clásica (e37) no puede: cuando los resultados NO son equiprobables o no se pueden contar, se ESTIMA la probabilidad repitiendo el experimento muchas veces y tomando la frecuencia relativa —P(A) = límite de #éxitos/n cuando n→∞ (e34)—. Su poder práctico es la SIMULACIÓN DE MONTE CARLO: estimar cualquier probabilidad (o área, o integral) tirando 'dardos' al azar. El modelo estima π lanzando dardos a un cuadrado y contando los que caen en el cuarto de círculo, y muestra la ley clave de la estimación por simulación: el error decrece como 1/√n —para reducirlo a la mitad hay que CUADRUPLICAR los ensayos—. """ import numpy as np from base import Ecuacion, Escenario, Ficha, Modelo, Parametro, Verificacion import config def _estimar_pi(n, semilla=2024): """Estimación de π por Monte Carlo: 4 × fracción de dardos en el cuarto de círculo.""" rng = np.random.default_rng(semilla) x = rng.random(int(n)); y = rng.random(int(n)) dentro = (x ** 2 + y ** 2) <= 1.0 frac = np.cumsum(dentro) / np.arange(1, int(n) + 1) return 4.0 * frac # trayectoria de la estimación def _curvas(p): N = int(p["n"]) est = _estimar_pi(N) n = np.arange(1, N + 1) # banda de error ~ c/√n alrededor de π banda = 1.64 / np.sqrt(n) # aprox del error estándar × 4 return {"lineas": {"estimación de π (Monte Carlo)": (n, est, config.AZUL2), "π verdadero = 3.1416": (n, np.full(N, np.pi), config.ROJO), "π + error ~1/√n": (n, np.pi + banda, config.GRIS)}, "puntos": [(N, est[-1], f"n={N}: π≈{est[-1]:.3f}")], "anotacion": (f"P(dardo en el círculo) = área = π/4 (no equiprobable, no contable)\n" f"se ESTIMA repitiendo: {N} dardos → π ≈ {est[-1]:.3f} (verdadero 3.1416)\n" "el error decrece como 1/√n: cuadruplicar n lo reduce a la mitad")} def _resultados(p): N = int(p["n"]) est = _estimar_pi(N) # error estándar TEÓRICO del estimador: est = 4·p̂, p = π/4, Var(p̂)=p(1−p)/n se_teorico = 4.0 * np.sqrt((np.pi / 4) * (1 - np.pi / 4) / N) return {"número de dardos n": float(N), "estimación de π": float(est[-1]), "π verdadero": float(np.pi), "error |estimación − π| (esta corrida)": float(abs(est[-1] - np.pi)), "error estándar teórico 4√(p(1−p)/n)": float(se_teorico), "n necesario para 1 decimal más (×100)": float(N * 100), "P(dardo en el círculo) = π/4": float(np.pi / 4)} def _ecuaciones_calibradas(p): N = int(p["n"]) est = _estimar_pi(N) return [f"P(A) = \\lim_{{n\\to\\infty}} \\frac{{\\#\\,\\text{{éxitos}}}}{{n}}\\ \\text{{(definición frecuentista)}}", f"\\text{{error}} \\sim \\frac{{c}}{{\\sqrt{{n}}}}:\\ n{{=}}{N} \\Rightarrow \\hat\\pi = {est[-1]:.3f}\\ (\\text{{verdadero }} 3.1416)"] _P0 = {"n": 5000} def _v_estima_probabilidad(): est = _estimar_pi(50000) return abs(est[-1] - np.pi) < 0.05, \ (f"la probabilidad frecuentista ESTIMA por repetición: 50000 dardos dan π ≈ {est[-1]:.3f} (verdadero " "3.1416) — sin contar ni suponer equiprobabilidad, solo repitiendo el experimento y midiendo la frecuencia") def _v_tasa_raiz_n(): # la tasa 1/√n es sobre la MAGNITUD ESPERADA del error (RMS/error estándar), NO sobre # una corrida: el error de Monte Carlo es aleatorio y una realización aislada puede subir. # Se promedia sobre muchas corridas independientes y se comprueba que al cuadruplicar n # el error RMS se reduce ~a la mitad (factor √4 = 2). def rms_error(n, corridas=400, semilla=99): rng = np.random.default_rng(semilla) x = rng.random((corridas, n)); y = rng.random((corridas, n)) est = 4.0 * ((x ** 2 + y ** 2) <= 1.0).mean(axis=1) # una estimación por corrida return float(np.sqrt(np.mean((est - np.pi) ** 2))) # error cuadrático medio e_n = rms_error(2500) e_4n = rms_error(10000) # 4× los dardos ratio = e_n / e_4n # debería ≈ 2 = √4 return 1.6 < ratio < 2.5, \ (f"el error decrece como 1/√n —sobre la magnitud ESPERADA, promediando 400 corridas, no una sola—: al " f"cuadruplicar n (2500→10000) el error RMS baja de {e_n:.4f} a {e_4n:.4f}, factor {ratio:.2f}× ≈ 2 = √4. " "La maldición de Monte Carlo: para UN dígito decimal más de precisión hacen falta ~100× más ensayos") def _v_monte_carlo(): # estimar P(suma de dos dados ≥ 10) por simulación, comparar con la clásica (6/36) rng = np.random.default_rng(7) d = rng.integers(1, 7, (100000, 2)).sum(axis=1) p_sim = float(np.mean(d >= 10)) return abs(p_sim - 6 / 36) < 0.01, \ (f"Monte Carlo estima CUALQUIER probabilidad: P(suma≥10) simulando = {p_sim:.3f} ≈ clásica 6/36 = {6/36:.3f}. " "Cuando contar es difícil o imposible, simular resuelve — el motor de la estadística computacional (e176)") def _v_coincide_clasica(): # P(dardo en el círculo) frecuentista ≈ π/4 clásica (probabilidad geométrica) est = _estimar_pi(50000)[-1] / 4 # fracción en el círculo return abs(est - np.pi / 4) < 0.02, \ (f"frecuentista y clásica coinciden: la fracción de dardos en el círculo ({est:.3f}) ≈ el área π/4 " f"({np.pi/4:.3f}) — la probabilidad geométrica (área favorable/área total) es la clásica en continuo, y la frecuencia la confirma") MODELO = Modelo( id="e38", nivel=3, nombre="La probabilidad frecuentista (Monte Carlo)", xlabel="número de dardos n", ylabel="estimación de π", parametros=[ Parametro("n", _P0["n"], 100, 20000, 100, "Número de dardos (ensayos)", grupo="probabilidad", definicion="más dardos, mejor estimación; el error decrece como 1/√n (lento)"), ], curvas=_curvas, resultados=_resultados, ecuaciones_calibradas=_ecuaciones_calibradas, ficha=Ficha( pregunta="Cuando no se puede contar (resultados no equiprobables o infinitos), ¿cómo se obtiene una probabilidad?", variables=[("frecuencia relativa", "#éxitos / #ensayos"), ("P(A)", "el límite de la frecuencia relativa cuando n→∞"), ("error ~ 1/√n", "la lenta convergencia de la estimación por simulación")], derivacion=["\\text{clásica (e37) exige equiprobabilidad; frecuentista, no}", "P(A) = \\lim_{n\\to\\infty} \\frac{\\#\\,\\text{éxitos}}{n} \\;(\\text{ley de los grandes números, e64})", "\\text{estimador } \\hat P = \\frac{\\#\\,\\text{éxitos}}{n};\\ \\text{error} \\sim \\frac{1}{\\sqrt{n}}", "\\text{Monte Carlo: estimar } P \\text{ (o área, integral) simulando}"], contexto=("La definición clásica (e37) es elegante pero frágil: se rompe en " "cuanto los resultados no son equiprobables (un dado cargado, la " "probabilidad de que llueva mañana, de que un paciente sane) o no " "se pueden enumerar. La definición FRECUENTISTA rescata todos esos " "casos con una idea sencilla y poderosa, la misma que vimos " "estabilizarse en e34: la probabilidad de un evento es el valor al " "que tiende su frecuencia relativa cuando el experimento se repite " "indefinidamente, P(A) = lím (#éxitos / n). En la práctica no se " "puede repetir infinitas veces, así que se ESTIMA con muchas: la " "frecuencia observada en n ensayos es un estimador de la " "probabilidad verdadera. Esta es la definición operativa que usan " "las aseguradoras (estiman P(accidente) con millones de pólizas), " "los epidemiólogos (P(complicación) con datos de pacientes) y " "cualquiera que mida una probabilidad en el mundo real. Su " "encarnación computacional es la SIMULACIÓN DE MONTE CARLO, una de " "las herramientas más importantes de la ciencia moderna: para " "estimar una probabilidad —o un área, o una integral, o el " "resultado de un sistema complejo— se simula el experimento " "miles o millones de veces y se cuenta. El modelo lo muestra " "estimando π: se tiran dardos al azar en un cuadrado, y como la " "probabilidad de caer dentro del cuarto de círculo inscrito es " "exactamente su área, π/4, la fracción de dardos dentro, " "multiplicada por 4, estima π —sin usar geometría, solo " "contando—. Pero el modelo enseña también la gran LIMITACIÓN de " "Monte Carlo, que hay que respetar: la convergencia es LENTA. El " "error de la estimación decrece como 1/√n, lo que significa que " "para DUPLICAR la precisión (un dígito más) hace falta CUADRUPLICAR " "—en realidad, multiplicar por 100 para cada dígito decimal— el " "número de simulaciones. Estimar π a tres decimales por Monte " "Carlo requiere millones de dardos; a seis, sería inviable. Esta " "tasa 1/√n no es un defecto del método sino una ley profunda —la " "misma que gobierna el error estándar (e89) y el teorema central " "del límite (e67)—: la precisión estadística es cara, y comprar " "cada dígito extra cuesta cien veces más datos. Frecuentismo y " "clasicismo no compiten: cuando ambos aplican, coinciden (la " "fracción de dardos confirma el área π/4); el frecuentismo " "simplemente extiende la probabilidad a donde contar no llega."), autores=("La definición frecuentista: John Venn (1866), Richard von Mises " "(1919); Monte Carlo: Stanislaw Ulam y John von Neumann (Los " "Álamos, 1940s), bautizado por el casino — menciones. Conocimiento " "estadístico general."), supuestos=[ "El experimento es repetible en condiciones iguales y los ensayos son independientes (e41): la frecuencia converge a la probabilidad (ley de los grandes números, e64).", "La estimación tiene error ~1/√n: es INSESGADA pero de convergencia LENTA; la precisión exige muchísimos ensayos (cada dígito, ~100× más).", "Monte Carlo requiere un buen generador de números aleatorios y saber traducir el problema a un experimento simulable (contar éxitos sobre ensayos).", ], ecuaciones=[ Ecuacion("P(A) = \\lim_{n\\to\\infty} \\frac{\\#\\,\\text{éxitos}}{n}", "definición frecuentista", "la probabilidad es el límite de la frecuencia relativa: se estima repitiendo el " "experimento, sin necesidad de equiprobabilidad ni de contar."), Ecuacion("\\hat P = \\frac{\\#\\,\\text{éxitos}}{n}, \\quad \\text{error} \\sim \\frac{1}{\\sqrt{n}}", "estimación por simulación", "la frecuencia observada estima P; el error decrece como 1/√n — lento: cada dígito extra " "de precisión cuesta ~100 veces más ensayos."), Ecuacion("\\hat\\pi = 4 \\times \\frac{\\#\\,\\text{dardos en el círculo}}{n}", "Monte Carlo de π", "como P(dardo en el círculo)=π/4, la fracción por 4 estima π: simular resuelve lo que " "contar no puede — el motor de la estadística computacional."), ], intuicion=("La probabilidad frecuentista es la que le da los pies en la " "tierra a la probabilidad: cuando no puedes razonar la respuesta, " "la MIDES repitiendo. Es la definición del experimentador, del " "actuario, del que corre simulaciones. Monte Carlo es su " "superpoder: convierte problemas de matemática pura (¿cuánto vale " "esta integral imposible? ¿cuál es la probabilidad de que este " "sistema de mil piezas falle?) en algo tan simple como tirar " "dardos y contar. Por eso es omnipresente en física, finanzas, " "ingeniería e inteligencia artificial. Pero su lección más " "honesta es la del costo: la tasa 1/√n es implacable. Estimar " "algo a un decimal es barato; a dos, cien veces más caro; a tres, " "diez mil veces. Esta 'maldición de la raíz de n' es una de las " "verdades más importantes y menos apreciadas de la estadística, y " "aparece en todas partes: es la razón por la que las encuestas " "grandes no son mucho mejores que las medianas (duplicar la " "muestra solo mejora el margen de error en un factor √2), por la " "que el error estándar de la media es σ/√n (e89), y por la que la " "estadística siempre tiene que elegir entre precisión y costo. " "Entender que la información crece con la raíz del esfuerzo, no " "linealmente, es entender por qué la certeza absoluta es " "inalcanzable y por qué hay que aprender a decidir bajo " "incertidumbre —de lo que trata el resto de la estadística—."), equilibrio=("La probabilidad frecuentista es el límite de la frecuencia " "relativa (garantizado por la LGN, e64). El estimador #éxitos/n " "es insesgado, con error ~1/√n (convergencia lenta). Monte Carlo " "estima cualquier probabilidad/área/integral simulando. Coincide " "con la clásica cuando ambas aplican. No hay 'equilibrio': es " "estimación por repetición."), limitaciones=[ "Convergencia LENTA (1/√n): cada dígito extra de precisión cuesta ~100× más simulaciones — Monte Carlo es versátil pero caro en precisión.", "Requiere repetibilidad e independencia: eventos únicos o irrepetibles (¿probabilidad de que este candidato gane esta elección específica?) no tienen frecuencia de largo plazo — ahí el enfoque bayesiano (e161) es más natural.", "La estimación es aleatoria: dos corridas dan resultados algo distintos; hay que reportar la incertidumbre de la propia estimación (intervalo de confianza, e92).", ], evolucion=("Formaliza la convergencia vista en e34 como DEFINICIÓN de " "probabilidad y como método de ESTIMACIÓN (Monte Carlo), rescatando " "los casos que la clásica (e37) no cubre. La tasa 1/√n anticipa el " "error estándar (e89) y el TCL (e67). Monte Carlo es el motor de " "toda la estadística computacional: bootstrap (e174), integración, " "MCMC bayesiano (e170). El contraste frecuentista vs. la " "probabilidad de eventos únicos abre, más adelante, el debate con " "el enfoque bayesiano (e161)."), ), escenarios=[ Escenario("pocos_dardos", "pocos dardos (n = 500): estimación burda", {"n": 500}, "con 500 dardos, la estimación de π es aproximada y ruidosa " "(puede dar 3.05 o 3.25): pocas repeticiones, mucho error. La " "frecuentista necesita MUCHOS ensayos para ser precisa.", cadena=["500 dardos (pocos)", "la fracción en el círculo es ruidosa", "estimación de π burda (±0.1)", "el error ~1/√n aún es grande"]), Escenario("muchos_dardos", "muchos dardos (n = 20000): mejor, pero caro", {"n": 20000}, "con 20000 dardos la estimación se acerca a π, pero fíjate cuánto " "esfuerzo para pocos decimales: la tasa 1/√n hace que la precisión " "sea cara. Para un decimal más habría que multiplicar por 100.", cadena=["20000 dardos (40× más que antes)", "el error baja solo ~√40 ≈ 6×", "estimación más precisa pero costosa", "la maldición de 1/√n: precisión cara"]), ], verificaciones=[ Verificacion("estima la probabilidad repitiendo (π por Monte Carlo)", _v_estima_probabilidad), Verificacion("el error decrece como 1/√n (precisión cara)", _v_tasa_raiz_n), Verificacion("Monte Carlo estima cualquier probabilidad", _v_monte_carlo), Verificacion("frecuentista y clásica coinciden cuando ambas aplican", _v_coincide_clasica), ], notas="Probabilidad frecuentista: P(A)=límite de #éxitos/n (e34). Estima P repitiendo, sin equiprobabilidad. Monte Carlo: estima π (o cualquier P/área/integral) simulando. Ley clave: error ~1/√n — cada dígito extra cuesta ~100× más ensayos (precisión cara). Coincide con la clásica (e37) cuando ambas aplican.", )