"""simuladores/estadistica/modelos/nivel_05/e67_teorema_central_limite.py — el teorema central del límite (sección V, tema 67). La «estrella» del currículo de estadística: aunque la población NO sea normal, la distribución de la media muestral X̄ se acerca a una normal N(μ, σ²/n) al crecer n. El modelo parte de una población gamma de media 1 cuya asimetría se regula con la forma k (k = 1 es la exponencial; k pequeño, muy sesgada; k grande, casi simétrica), simula muchas muestras de tamaño n, dibuja el histograma de sus medias contra la normal teórica y mide cuánto se parecen (distancia de Kolmogórov). La misma lógica que anima `animaciones/e67_tcl.py` (población exponencial, semilla fija), ahora como modelo con parámetros, escenarios y los teoremas como verificaciones. """ import math import numpy as np from base import Ecuacion, Escenario, Ficha, Modelo, Parametro, Verificacion import config _SEMILLA = 42 # aleatoriedad reproducible (regla del laboratorio) _MU = 1.0 # media de la población gamma(k, 1/k): siempre 1 def _medias(n, k, reps, semilla=_SEMILLA): """reps medias muestrales de tamaño n de una población gamma de forma k y media 1 (escala 1/k).""" rng = np.random.default_rng(semilla) return rng.gamma(shape=k, scale=1.0 / k, size=(int(reps), int(n))).mean(axis=1) def _sigma(k): """Desviación estándar de la población gamma(k, 1/k): √k · (1/k) = 1/√k.""" return 1.0 / math.sqrt(k) def _densidad_poblacion(x, k): """Densidad gamma(k, escala 1/k), por logaritmos (estable para k grande).""" x = np.asarray(x, float) logf = k * math.log(k) - math.lgamma(k) + (k - 1) * np.log(x) - k * x return np.exp(logf) def _densidad_normal(x, mu, sd): return np.exp(-0.5 * ((x - mu) / sd) ** 2) / (sd * math.sqrt(2 * math.pi)) _ERF = np.frompyfunc(math.erf, 1, 1) def _distancia_ks(medias, mu, sd): """Distancia de Kolmogórov entre la distribución empírica de X̄ y la normal N(mu, sd²).""" x = np.sort(medias) m = len(x) phi = 0.5 * (1.0 + _ERF((x - mu) / (sd * math.sqrt(2))).astype(float)) arriba = np.arange(1, m + 1) / m - phi abajo = phi - np.arange(0, m) / m return float(max(arriba.max(), abajo.max())) def _asimetria(v): v = np.asarray(v, float) d = v - v.mean() return float(np.mean(d ** 3) / np.mean(d ** 2) ** 1.5) def _curvas(p): n, k, reps = int(p["n"]), float(p["k"]), int(p["reps"]) medias = _medias(n, k, reps) se = _sigma(k) / math.sqrt(n) # histograma de X̄ como contorno escalonado (densidad), sobre μ ± 4.5 errores estándar lo, hi = max(1e-6, _MU - 4.5 * se), _MU + 4.5 * se dens, bordes = np.histogram(medias, bins=40, range=(lo, hi), density=True) xs = np.repeat(bordes, 2)[1:-1] ys = np.repeat(dens, 2) xn = np.linspace(lo, hi, 200) yn = _densidad_normal(xn, _MU, se) # la población, en su rango útil; su densidad se recorta al alto de la figura (con k < 1 tiende a infinito en 0) x_max = max(3.0, _MU + 3.5 * _sigma(k)) xp = np.linspace(x_max / 400, x_max, 300) tope = 1.15 * max(float(yn.max()), float(dens.max())) yp = np.minimum(_densidad_poblacion(xp, k), tope) ks = _distancia_ks(medias, _MU, se) return {"lineas": {"población (gamma, media 1)": (xp, yp, config.VERDE), "$\\bar X$ simulada (histograma)": (xs, ys, config.AZUL2), "normal teórica $N(\\mu, \\sigma^2/n)$": (xn, yn, config.ROJO)}, "puntos": [(_MU, float(yn.max()), f"μ = 1, σ/√n = {se:.3f}")], "anotacion": (f"{reps} muestras de tamaño n = {n} de una población gamma (k = {k:g})\n" f"asimetría: población {2 / math.sqrt(k):.2f} → X̄ {_asimetria(medias):.2f}\n" f"distancia a la normal (Kolmogórov): {ks:.3f}")} def _resultados(p): n, k, reps = int(p["n"]), float(p["k"]), int(p["reps"]) medias = _medias(n, k, reps) se = _sigma(k) / math.sqrt(n) return {"tamaño de muestra n": float(n), "media de X̄ (simulada)": float(medias.mean()), "μ de la población": _MU, "desviación de X̄ (simulada)": float(medias.std(ddof=1)), "error estándar σ/√n": se, "asimetría de la población 2/√k": 2 / math.sqrt(k), "asimetría de X̄ (simulada)": _asimetria(medias), "asimetría de X̄ teórica 2/√(kn)": 2 / math.sqrt(k * n), "distancia a la normal (Kolmogórov)": _distancia_ks(medias, _MU, se)} def _ecuaciones_calibradas(p): n, k = int(p["n"]), float(p["k"]) se = _sigma(k) / math.sqrt(n) return [f"\\bar X = \\frac{{1}}{{{n}}}\\sum_{{i=1}}^{{{n}}} X_i,\\quad X_i \\sim \\text{{Gamma}}(k{{=}}{k:g},\\ \\text{{media }} 1)", f"\\bar X \\;\\dot\\sim\\; N\\!\\left(1,\\ \\frac{{{_sigma(k) ** 2:.3f}}}{{{n}}}\\right),\\quad \\sigma_{{\\bar X}} = {se:.3f}"] _P0 = {"n": 5, "k": 1.0, "reps": 4000} def _v_insesgada(): m = _medias(10, 1.0, 20000, semilla=1) return abs(m.mean() - _MU) < 0.01, \ (f"E[X̄] = μ: la media de 20000 medias muestrales (n = 10, población exponencial) es {m.mean():.4f} ≈ μ = 1 — " "la media muestral no se equivoca en promedio, sea cual sea la forma de la población") def _v_error_estandar(): m = _medias(25, 1.0, 20000, semilla=2) teorica = _sigma(1.0) / math.sqrt(25) razon = m.std(ddof=1) / teorica return abs(razon - 1) < 0.03, \ (f"Var(X̄) = σ²/n: con n = 25 la desviación de X̄ es {m.std(ddof=1):.4f} y σ/√n = {teorica:.4f} " f"(razón {razon:.3f}) — la dispersión de la media cae con la raíz de n") def _v_asimetria_raiz_n(): s4 = _asimetria(_medias(4, 1.0, 40000, semilla=3)) s64 = _asimetria(_medias(64, 1.0, 40000, semilla=4)) razon = s4 / s64 return 3.0 < razon < 5.2, \ (f"la asimetría de X̄ decrece como 1/√n (teoría 2/√n): n = 4 → {s4:.3f}; n = 64 → {s64:.3f}; " f"razón {razon:.2f} ≈ √16 = 4 — por eso la forma de la media se «normaliza» al crecer n") def _v_converge_a_normal(): def ks(n, semilla): m = _medias(n, 1.0, 20000, semilla=semilla) return _distancia_ks(m, _MU, _sigma(1.0) / math.sqrt(n)) d1, d5, d50 = ks(1, 5), ks(5, 6), ks(50, 7) return d1 > d5 > d50 and d50 < 0.03, \ (f"TCL: la distancia de Kolmogórov entre X̄ y su normal cae al crecer n: n = 1 → {d1:.3f}, n = 5 → {d5:.3f}, " f"n = 50 → {d50:.3f} — partiendo de una población exponencial, nada normal") def _v_forma_importa(): def ks(k, semilla): m = _medias(30, k, 20000, semilla=semilla) return _distancia_ks(m, _MU, _sigma(k) / math.sqrt(30)) sesgada, simetrica = ks(0.2, 8), ks(10.0, 9) return sesgada > simetrica, \ (f"la «regla de n ≥ 30» no es ley: con n = 30, una población muy sesgada (k = 0.2) deja X̄ a {sesgada:.3f} de la " f"normal y una casi simétrica (k = 10), a {simetrica:.3f} — la velocidad del TCL depende de la forma de la población") MODELO = Modelo( id="e67", nivel=5, nombre="El teorema central del límite", xlabel="valor", ylabel="densidad", parametros=[ Parametro("n", _P0["n"], 1, 100, 1, "Tamaño de cada muestra n", grupo="muestreo", definicion="cuántas observaciones promedia cada muestra; con n = 1, X̄ es la población misma"), Parametro("k", _P0["k"], 0.2, 10, 0.1, "Forma de la población k", grupo="población", definicion="gamma de media 1: k = 1 es la exponencial; k pequeño, muy sesgada; k grande, casi simétrica"), Parametro("reps", _P0["reps"], 500, 8000, 500, "Muestras simuladas", grupo="simulación", definicion="cuántas medias se simulan para dibujar su distribución (más, histograma más liso)"), ], curvas=_curvas, resultados=_resultados, ecuaciones_calibradas=_ecuaciones_calibradas, ficha=Ficha( pregunta=("Si la población no es normal, ¿por qué la media de una muestra sí termina pareciéndose a una normal, " "y cuán grande tiene que ser la muestra para que eso sea verdad?"), variables=[("X_i", "observaciones independientes de una población con media μ y varianza σ² finita"), ("\\bar X", "media muestral de n observaciones"), ("n", "tamaño de la muestra"), ("k", "forma de la población gamma (regula su asimetría 2/√k)")], derivacion=["E[\\bar X] = \\frac{1}{n}\\sum E[X_i] = \\mu", "\\operatorname{Var}(\\bar X) = \\frac{1}{n^2}\\sum \\operatorname{Var}(X_i) = \\frac{\\sigma^2}{n}", "Z_n = \\frac{\\bar X - \\mu}{\\sigma/\\sqrt{n}}", "Z_n \\xrightarrow{d} N(0,1) \\quad (n \\to \\infty)", "\\text{asimetría}(\\bar X) = \\frac{\\text{asimetría}(X)}{\\sqrt{n}}"], contexto=("Abraham de Moivre descubrió en 1733 que el número de caras en muchos lanzamientos de una moneda se " "distribuye según una curva en forma de campana; Pierre-Simon Laplace lo generalizó en 1810 a sumas de " "variables cualesquiera, y la prueba rigurosa llegó con Lyapunov (1901) y Lindeberg (1922). El " "resultado explica por qué la normal aparece en todas partes: muchas magnitudes son sumas o promedios " "de muchos efectos pequeños e independientes. En la práctica es el teorema que sostiene casi toda la " "inferencia clásica: los intervalos de confianza y las pruebas sobre una media usan la normal aunque " "nadie sepa la forma de la población, porque lo que se distribuye como normal es la media, no los " "datos. El modelo lo pone a prueba con una población deliberadamente asimétrica (una gamma, como el " "ingreso o el tiempo de espera) y deja ver cuánto tarda la media en «olvidar» esa forma."), autores=("De Moivre (1733), Laplace (1810), Lyapunov (1901), Lindeberg (1922) — menciones. Conocimiento " "estadístico general."), supuestos=[ "Observaciones independientes e idénticamente distribuidas (muestreo aleatorio con reposición o población grande).", "La población tiene varianza finita: sin ella (Cauchy, colas muy pesadas) el teorema no se cumple.", "El resultado es asintótico: dice a dónde va la distribución de X̄ cuando n crece, no cuán cerca está con un n dado.", "La población del modelo es una gamma de media 1 y varianza 1/k: la forma k controla su asimetría (2/√k).", ], ecuaciones=[ Ecuacion("E[\\bar X] = \\mu, \\quad \\operatorname{Var}(\\bar X) = \\frac{\\sigma^2}{n}", "momentos de la media", "valen para cualquier población con varianza finita y cualquier n: la media muestral está centrada " "en μ y su dispersión cae con la raíz de n (el error estándar σ/√n)."), Ecuacion("\\frac{\\bar X - \\mu}{\\sigma/\\sqrt{n}} \\xrightarrow{d} N(0, 1)", "teorema central del límite", "la media tipificada converge en distribución a la normal estándar, sea cual sea la forma de la " "población: la campana es un destino, no un supuesto."), Ecuacion("\\text{asimetría}(\\bar X) = \\frac{2}{\\sqrt{k\\,n}}", "velocidad de convergencia", "en la población gamma la asimetría de X̄ es la de la población dividida por √n: cuanto más sesgada " "la población, más grande tiene que ser n para que la normal sea una buena aproximación."), ], intuicion=("Al promediar, los valores extremos de un lado se compensan con los del otro: la media de muchas " "observaciones casi nunca es extrema aunque cada observación pueda serlo. Esa compensación borra " "poco a poco la forma de la población —su asimetría se divide por √n— y lo que queda es la campana. " "Por eso una encuestadora puede dar un margen de error con la normal sin conocer la distribución del " "ingreso: lo que se comporta como normal es el promedio de la muestra. Pero el teorema no regala " "nada: con una población muy sesgada la media tarda en normalizarse, y la famosa «regla de n ≥ 30» " "puede quedarse corta."), equilibrio=("La distribución de X̄ tiene media μ y desviación σ/√n para todo n; su forma converge a la normal " "cuando n → ∞, y la distancia a la normal cae con la asimetría de la población dividida por √n."), limitaciones=[ "Es asintótico: no dice qué n basta; con poblaciones muy asimétricas o con colas pesadas hacen falta muestras grandes, y la «regla de 30» es solo una costumbre.", "Exige independencia y varianza finita: con datos dependientes (series de tiempo, conglomerados) o colas muy pesadas, la normal de X̄ falla o necesita otra versión del teorema.", "Habla de la media (o de sumas), no de los datos: la población sigue siendo asimétrica aunque X̄ sea casi normal.", "La simulación usa un número finito de muestras: el histograma tiene ruido propio, que baja con más muestras simuladas.", ], evolucion=("Parte de la ley de los grandes números (e64: X̄ → μ) y le añade la forma de la fluctuación alrededor " "de μ. Funda el error estándar (e89), los intervalos de confianza (e92) y las pruebas sobre medias " "(sección VIII); el bootstrap (e174) es la salida cuando la aproximación normal no es fiable."), ), escenarios=[ Escenario("poblacion", "n = 1: la media de una sola observación es la población", {"n": 1}, "con n = 1 no hay nada que promediar: el histograma de X̄ reproduce la población exponencial, " "asimétrica y lejos de la normal teórica. Es el punto de partida del teorema.", cadena=["n = 1", "X̄ = X", "la distribución de X̄ es la de la población", "asimetría 2: muy lejos de la normal"]), Escenario("n_30", "n = 30: la «regla de 30» con una población exponencial", {"n": 30}, "con 30 observaciones la media ya casi no conserva la asimetría de la población (2/√30 ≈ 0,37): " "el histograma se pega a la normal teórica y la distancia de Kolmogórov es pequeña.", cadena=["↑n a 30", "los extremos se compensan al promediar", "asimetría de X̄ = 2/√30 ≈ 0,37", "X̄ casi normal, centrada en μ con σ/√n"]), Escenario("muy_sesgada", "población muy sesgada (k = 0,2) con n = 30", {"n": 30, "k": 0.2}, "la misma n = 30 no basta cuando la población es muy asimétrica (asimetría 4,5): la media conserva " "una cola larga a la derecha (2/√6 ≈ 0,82). La regla de 30 es una costumbre, no un teorema.", cadena=["↓k a 0,2", "población con asimetría 2/√0,2 ≈ 4,5", "con n = 30, X̄ conserva 0,82", "la normal aún no es buena aproximación"]), Escenario("casi_simetrica", "población casi simétrica (k = 10) con n = 5", {"n": 5, "k": 10.0}, "si la población ya es casi simétrica, cinco observaciones bastan: la asimetría de X̄ es 2/√50 ≈ 0,28 " "y el histograma coincide con la normal. El TCL trabaja rápido cuando tiene poco que corregir.", cadena=["↑k a 10", "población casi simétrica (0,63)", "con n = 5, X̄ queda en 0,28", "X̄ casi normal con muestras pequeñas"]), ], verificaciones=[ Verificacion("E[X̄] = μ (la media muestral es insesgada)", _v_insesgada), Verificacion("Var(X̄) = σ²/n (error estándar σ/√n)", _v_error_estandar), Verificacion("la asimetría de X̄ decrece como 1/√n", _v_asimetria_raiz_n), Verificacion("TCL: X̄ converge a la normal partiendo de una población no normal", _v_converge_a_normal), Verificacion("la velocidad de convergencia depende de la forma de la población", _v_forma_importa), ], notas=("TCL: (X̄−μ)/(σ/√n) → N(0,1) para cualquier población con varianza finita. Población gamma de media 1 y " "forma k (asimetría 2/√k); la asimetría de X̄ es 2/√(kn). Mide la distancia de Kolmogórov a la normal. La " "regla de n ≥ 30 depende de la forma de la población."), )