Estadística · II · Estadística descriptiva · e23
Los cuartiles y el rango intercuartílico
¿Cómo se mide la dispersión de los datos sin que un atípico la arruine — y qué es el 50% central?
En el curso: Estadística, tema 2.13 (Cuartiles y Percentiles)
El modelo en vivo
- función de distribución empírica F(x)
- cuartos: 25% · 50% · 75%
IQR = Q3 − Q1 = 10.0 − 5.5 = 4.5 (dispersión del 50% central)
rango = 11.0 (se lo lleva el atípico)
el IQR es ROBUSTO: ignora las colas
La figura muestra el modelo con sus valores por defecto. Para moverlo, esta página carga Python (Pyodide y numpy, unos 12 MB la primera vez) desde cdn.jsdelivr.net.
Escenarios
Cada escenario cambia algunos parámetros a partir de los valores por defecto.
Resultados
| Q1 (primer cuartil, 25%) | 5.50 |
|---|---|
| Q2 (mediana, 50%) | 7.00 |
| Q3 (tercer cuartil, 75%) | 10.0 |
| IQR = Q3 − Q1 (robusto) | 4.50 |
| rango = máx − mín (NO robusto) | 11.0 |
| mediana de _BASE (comparación) | 6.50 |
Ficha del modelo
Contexto
Los cuartiles responden a la misma necesidad que la mediana —describir los datos sin que los extremos manden— pero con más resolución: en lugar de partir en dos mitades, parten en cuatro cuartos iguales. El primer cuartil Q1 deja el 25% de los datos por debajo; el segundo Q2 es exactamente la mediana (50%); el tercero Q3, el 75%. Su diferencia, el rango intercuartílico IQR = Q3 − Q1, es una de las medidas de dispersión más útiles de toda la estadística, porque mide la extensión del 50% CENTRAL de los datos —del cuarto al tercer cuartil— e ignora por completo las colas. Eso lo hace ROBUSTO: es a la dispersión lo que la mediana es al centro. Mientras el rango (máximo − mínimo) y la desviación estándar (e27) se disparan con un solo atípico, el IQR ni se inmuta: puedes llevar el dato más alto al infinito y el IQR sigue igual, porque solo le importa dónde caen los cuartiles del medio. Los cuartiles son, además, la materia prima del DIAGRAMA DE CAJA (boxplot, e15) —la caja va de Q1 a Q3, con la mediana adentro, y los 'bigotes' se extienden hasta 1.5·IQR—, y de la regla estándar para detectar atípicos (e33): un dato es sospechoso si cae por debajo de Q1 − 1.5·IQR o por encima de Q3 + 1.5·IQR. Toda esta familia —cuartiles, IQR, boxplot, regla 1.5·IQR— viene de John Tukey y comparte una filosofía: resumir y visualizar la forma de los datos con estadísticos que los outliers no puedan secuestrar. La lección práctica: cuando reportes dispersión de datos que podrían tener extremos (ingresos, tiempos, precios), el IQR dice la verdad; el rango y la desviación, a medias.
Supuestos
- Datos al menos ORDINALES: los cuartiles solo requieren ordenar (como la mediana), no distancias.
- Hay varias convenciones para interpolar cuartiles con n pequeño (aquí se usa la de numpy, lineal); las diferencias son menores y desaparecen con n grande.
- El IQR describe el 50% central; NO informa de las colas (para eso están el rango, e26, o los percentiles extremos, e24) — es robusto justamente porque las ignora.
Ecuaciones
- los tres cuartiles
los valores donde la proporción acumulada cruza 25%, 50% y 75%: parten los datos ordenados en cuatro cuartos con igual número de observaciones.
- rango intercuartílico
la extensión del 50% central de los datos: una medida de dispersión ROBUSTA, inmune a los atípicos porque ignora las colas.
- el segundo cuartil es la mediana
los cuartiles generalizan la mediana (e18): Q2 es el corte del 50%, y Q1/Q3 son las medianas de cada mitad.
Intuición
La imagen es la de repartir a los datos ordenados en cuatro filas del mismo tamaño: los cuartiles son las tres líneas que las separan, y el IQR es el ancho de las dos filas del medio. Ese 'ancho del medio' es una idea poderosa: describe cómo de dispersos están los datos TÍPICOS, sin dejarse impresionar por el más rico, el más lento o el más caro. Por eso, cuando quieres saber si dos grupos son parecidos, comparar sus cajas (Q1, mediana, Q3) dice mucho más que comparar sus promedios: revela el centro, la dispersión y la asimetría de un vistazo, y aguanta los outliers. La regla 1.5·IQR de Tukey es la formalización de '¿qué tan lejos es demasiado lejos?': un dato a más de una vez y media el ancho de la caja fuera de ella es, estadísticamente, sospechoso —candidato a investigar (e33)—. Toda la caja de herramientas robusta —mediana, IQR, MAD (e32), boxplot— comparte el mismo espíritu que hace grande al análisis exploratorio de datos: mirar la forma antes de calcular un número, y usar estadísticos que la realidad sucia no pueda engañar.
Limitaciones
- El IQR ignora las colas por diseño: es su fuerza (robustez) y su límite (no dice nada de los extremos, que a veces son lo importante — un fraude, una crisis).
- Convención de interpolación: con muestras muy pequeñas, distintos métodos dan cuartiles algo distintos; irrelevante con n grande.
- Menos tratable algebraicamente que la desviación estándar: los cuartiles no tienen fórmulas suaves, lo que complica su teoría de muestreo (aunque hay resultados robustos).
Qué viene después
Generalizan la mediana (e18) a cortes de 25% y dan la dispersión robusta (IQR), complemento del rango (e26, no robusto) y la desviación (e27, no robusta). Se extienden a percentiles (e24) y deciles (e25). Son la base del diagrama de caja (e15) y de la regla 1.5·IQR para detectar atípicos (e33), cerrando el arco de la estadística robusta con la mediana (e18) y la MAD (e32).
Fuentes y procedencia
Los cuartiles, el IQR y el boxplot: John Tukey (Exploratory Data Analysis, 1977) — mención histórica. Conocimiento estadístico general.
Procedencia: sin procedencia declarada. El modelo pasa 4 verificaciones numéricas en el laboratorio (python3 main.py verificar); es un modelo pedagógico, no un pronóstico.
Código
El cálculo es el mismo que el del laboratorio de escritorio (licencia MPL-2.0): estadistica/modelos/nivel_02/e23_cuartiles.py, sobre el motor base.py y el adaptador navegador.py.