Población y muestra

Ficha del modelo

Contexto

Toda la estadística inferencial nace de una idea audaz: que no hace falta medir a TODOS para saber algo confiable sobre el conjunto — que una MUESTRA bien extraída lleva información sobre la POBLACIÓN entera. Durante siglos, conocer una población significó censarla (contar a cada uno), una tarea cara y lenta. El giro llegó cuando se entendió que una parte, si se elige SIN SESGO (al azar), es un espejo fiel del todo. Laplace ya estimó la población de Francia en 1786 a partir de una muestra de parroquias; un siglo después, Anders Kiaer formalizó el 'muestreo representativo' y desató la revolución del muestreo que hizo posibles las encuestas modernas. Este modelo lo muestra con una población artificial que conocemos por completo: es BIMODAL (dos grupos, claramente NO normal), con media μ y desviación σ conocidas. De ella extraemos miles de muestras aleatorias de tamaño n y observamos la media muestral x. Aparecen dos hechos que fundan todo lo que sigue. Primero, x se CENTRA en μ: en promedio, la muestra no se equivoca (es INSESGADA). Segundo, x no es exacta —cada muestra da un valor algo distinto—, pero su variabilidad es medible y CONOCIDA: el error estándar σ/√n, que encoge al crecer n. Con n pequeño, x baila mucho alrededor de μ; con n grande, se pega a μ. La distinción central que hay que grabar: μ es un PARÁMETRO (fijo, propio de la población, que casi nunca conocemos) y x es un ESTADÍSTICO (que calculamos de la muestra y que ESTIMA a μ). Confundirlos es el error conceptual más común de la estadística. Y un adelanto hermoso: aunque la población sea bimodal, la distribución de x ya se ve acampanada —el Teorema Central del Límite (e67) asomando—.

Supuestos

• Muestreo ALEATORIO simple: cada unidad de la población tiene la misma probabilidad de ser elegida (sin sesgo de selección).
• La población es fija y conocida SOLO en este laboratorio (para poder comparar x con μ); en la práctica μ y σ son desconocidos — por eso se estiman.
• Las observaciones se extraen de forma independiente; el tamaño de la población es mucho mayor que n (muestreo con reemplazo ≈ sin reemplazo).

Ecuaciones

media muestral (estadístico)

$$\bar x = \tfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$$

el promedio de la muestra; VARÍA de una muestra a otra — es una variable aleatoria, a diferencia de μ, que es un número fijo de la población.

insesgadez

$$E[\bar x] = \mu$$

en promedio, sobre todas las muestras posibles, la media muestral acierta el parámetro: x no se equivoca sistemáticamente hacia arriba ni hacia abajo.

error estándar

$$SE(\bar x) = \sigma/\sqrt{n}$$

cuánto se dispersa x alrededor de μ; encoge con √n — la ley cuantitativa de que más datos dan más precisión (pero con rendimientos decrecientes).

Intuición

La imagen es la de probar una olla de sopa: si está BIEN REVUELTA, una sola cucharada basta para saber si le falta sal —no hace falta tomarse toda la olla—. 'Bien revuelta' es la clave, y significa ALEATORIA: si la cuchara siempre toma del mismo rincón (muestreo sesgado), la cucharada engaña por más grande que sea. El laboratorio hace visible lo que la intuición sospecha: una muestra aleatoria es un espejo del todo, imperfecto pero honesto. El error estándar σ/√n pone número a esa imperfección, y su forma —dividir por √n, no por n— tiene una consecuencia práctica enorme: para DUPLICAR la precisión no basta el doble de datos, hacen falta CUATRO veces más. Por eso una encuesta nacional bien hecha de 1.200 personas puede describir a un país de millones con un margen de error de ±3%: no es magia, es σ/√n. Y por eso el tamaño de la muestra importa muchísimo hasta cierto punto y después poco: pasar de 100 a 400 encuestados vale la pena; de 10.000 a 40.000, casi nunca. Grabar la diferencia entre el PARÁMETRO que buscamos (μ) y el ESTADÍSTICO que calculamos (x) es el primer paso de todo pensamiento estadístico serio.

Limitaciones

• Todo se apoya en la ALEATORIEDAD del muestreo: un muestreo sesgado (no aleatorio) rompe la insesgadez —x deja de estimar μ— sin importar cuán grande sea n (sesgo de selección, sec. VI).
• μ y σ son conocidos SOLO aquí (para poder comparar); en la práctica se estiman de la propia muestra, lo que añade incertidumbre (la 's' en vez de σ lleva a la t de Student, e62).
• El error estándar σ/√n mide variabilidad aleatoria, NO sesgo: reduce el error por azar, jamás el error por mala medición o por una muestra torcida.

Qué viene después

Es la raíz del laboratorio. La sec. II (descriptiva, e17+) calcula x, s y compañía; la sec. V (e64 LGN, e67 TCL) explica POR QUÉ x converge a μ y por qué se vuelve normal; la sec. VI (muestreo) estudia cómo extraer bien la muestra; y la sec. VII (inferencia) usa el error estándar para construir intervalos de confianza y pruebas de hipótesis. Todo cuelga de aquí.

Fuentes y procedencia

Pierre-Simon Laplace (estimación por muestreo, 1786); Anders Kiaer (muestreo representativo, 1895); Jerzy Neyman (teoría del muestreo, 1934) — menciones históricas, no citas de página. La distinción parámetro/estadístico y el error estándar: teoría del muestreo (conocimiento estadístico general).

Procedencia: sin procedencia declarada. El modelo pasa 4 verificaciones numéricas en el laboratorio (python3 main.py verificar); es un modelo pedagógico, no un pronóstico.

Código

El cálculo es el mismo que el del laboratorio de escritorio (licencia MPL-2.0): estadistica/modelos/nivel_01/e02_poblacion_muestra.py, sobre el motor base.py y el adaptador navegador.py.