La mediana

Ficha del modelo

Contexto

La mediana responde a la misma pregunta que la media —¿cuál es el 'centro' de estos datos?— pero con una regla del juego distinta, y esa diferencia lo cambia todo cuando hay valores extremos. La media minimiza el error al CUADRADO, y elevar al cuadrado hace que un dato lejano pese enormemente: por eso un solo millonario dispara el ingreso 'promedio' de un barrio pobre a una cifra que no describe a nadie. La mediana, en cambio, minimiza el error ABSOLUTO (sin elevar al cuadrado), y al no castigar la magnitud de la distancia sino solo el LADO, es indiferente a cuán estrafalario sea el outlier. Operativamente es el valor que parte los datos ordenados en dos mitades: la mitad queda por debajo, la mitad por encima. Su virtud es la ROBUSTEZ: su punto de ruptura es 50% —habría que corromper la mitad de las observaciones para moverla arbitrariamente—, frente al 0% de la media (a la que un solo dato basta para arrastrar sin límite). Por eso, cuando los datos son asimétricos o tienen atípicos —ingresos, precios de vivienda, tiempos de espera—, los estadísticos serios reportan la mediana: describe a la persona TÍPICA, no al promedio distorsionado. El precio de esa robustez es que la mediana ignora información (no le importa si el dato de arriba es 10 o 10.000), así que es menos eficiente que la media cuando NO hay atípicos y los datos son simétricos. Media y mediana no compiten: resuelven problemas distintos (pérdida cuadrática vs absoluta), y saber cuál usar es leer bien la forma de los datos.

Supuestos

• Datos al menos ORDINALES: la mediana solo necesita poder ordenar (no requiere distancias, a diferencia de la media) — sirve para variables ordinales donde la media no.
• Con n impar la mediana es un dato; con n par es el promedio de los dos centrales (una convención).
• El interés es el centro bajo pérdida ABSOLUTA (o la robustez ante atípicos); si los datos son simétricos y limpios, la media es más eficiente.

Ecuaciones

el valor central

$$\text{mediana} = x_{((n+1)/2)} \;(n\text{ impar})$$

ordenados los datos, la mediana es el del medio: deja la mitad de las observaciones a cada lado — el percentil 50 (e24).

minimiza el error absoluto

$$\text{mediana} = \arg\min_a \sum |x_i - a|$$

de todos los centros posibles, la mediana es el que minimiza la suma de distancias absolutas — el análogo de la media, pero con |·| en vez de (·)².

robustez

$$\text{punto de ruptura} = 50\%$$

hay que corromper la MITAD de los datos para mover la mediana sin control; a la media le basta un solo dato (0%) — la mediana es el centro robusto.

Intuición

La imagen es una fila de personas ordenadas por estatura: la mediana es simplemente la persona del medio, y da igual si el más alto mide 2 metros o 3 —sigue siendo el mismo del medio—. La media, en cambio, si al más alto lo reemplazamos por un gigante de 10 metros, se dispara, aunque nadie más haya cambiado. Esa es toda la diferencia: la mediana cuenta POSICIONES (¿de qué lado caes?), la media pesa MAGNITUDES (¿cuán lejos estás?). Por eso la mediana es la medida de los datos 'sucios' del mundo real —ingresos con multimillonarios, precios con mansiones, tiempos con casos patológicos— y la razón por la que los organismos serios reportan el ingreso MEDIANO de un país, no el promedio: el promedio sube cuando los ricos se hacen más ricos aunque el resto no cambie; la mediana solo sube si mejora la persona del medio. La contracara: al ignorar magnitudes, la mediana tira información, y con datos limpios y simétricos la media aprovecha mejor los datos (es más eficiente). La regla práctica: si media ≈ mediana, los datos son simétricos y da igual; si media ≫ mediana, hay cola a la derecha (outliers altos) y la mediana es la honesta.

Limitaciones

• Ignora magnitudes: no distingue un dato de arriba en 10 de uno en 10.000 — esa robustez cuesta información; con datos simétricos y limpios la media es más eficiente.
• Menos tratable algebraicamente: no tiene una fórmula suave como la media (no se deriva igual), lo que complica su teoría de muestreo (aunque hay resultados asintóticos).
• Con n par la 'mediana' es una convención (promedio de los dos centrales); y en variables muy discretas puede caer entre valores sin sentido sustantivo.

Qué viene después

Completa el par con la media (e17): misma pregunta, pérdidas distintas (absoluta vs cuadrática), robustez opuesta (50% vs 0%). Generaliza a los CUANTILES —cuartiles (e23), percentiles (e24), deciles (e25)—, siendo la mediana el percentil 50. Su robustez es el tema de las medidas robustas (e32) y la detección de atípicos (e33), donde se une con la MAD (desviación absoluta mediana). Con la moda (e19) completa las medidas de tendencia central.

Fuentes y procedencia

La mediana como estadístico: Galton la popularizó (s. XIX) con ese nombre; la propiedad de minimizar el error absoluto y el punto de ruptura: estadística robusta (Tukey, Huber, s. XX) — menciones. Conocimiento estadístico general.

Procedencia: sin procedencia declarada. El modelo pasa 4 verificaciones numéricas en el laboratorio (python3 main.py verificar); es un modelo pedagógico, no un pronóstico.

Código

El cálculo es el mismo que el del laboratorio de escritorio (licencia MPL-2.0): estadistica/modelos/nivel_02/e18_mediana.py, sobre el motor base.py y el adaptador navegador.py.