Los percentiles

Ficha del modelo

Contexto

Los percentiles son la forma más flexible de ubicar un valor dentro de una distribución, y la que la gente encuentra a diario sin darse cuenta de que es estadística. El percentil p es, simplemente, el valor por debajo del cual cae el p% de los datos: el percentil 90 de estatura es la altura que supera al 90% de los niños de esa edad, el percentil 25 de ingresos es el umbral bajo el cual está el cuarto más pobre. Generalizan los cuartiles (e23): el percentil 50 es la mediana, el 25 y el 75 son Q1 y Q3, el 10 y el 90 recortan las colas. Formalmente, el percentil es la INVERSA de la función de distribución empírica F —si F te dice qué proporción de datos hay por debajo de un valor, el percentil te da el valor para una proporción—, y esa doble lectura es lo que los hace tan versátiles. En una dirección, fijas un nivel y obtienes un umbral: '¿cuál es el ingreso del percentil 90?'. En la otra —el RANGO PERCENTIL— fijas un valor y obtienes su posición relativa: '¿en qué percentil quedó mi puntaje?'. Esta segunda es la que usan las tablas de crecimiento pediátrico (el clásico 'percentil 90 de peso'), los exámenes estandarizados (tu resultado vs el de todos) y las finanzas: el Valor-en-Riesgo (VaR) es literalmente el percentil 5 de la distribución de pérdidas —la pérdida que solo se supera el 5% de las veces—. La gran virtud de los percentiles es que describen la POSICIÓN sin suponer ninguna forma de la distribución (no exigen normalidad ni simetría) y son robustos como la mediana; su límite es que, al ser posicionales, ignoran las magnitudes —dos personas en el mismo percentil pueden estar muy separadas en valor absoluto—.

Supuestos

• Datos al menos ORDINALES: los percentiles solo requieren ordenar; describen posición, no magnitud.
• Con n finito hay convenciones de interpolación (aquí la lineal de numpy); irrelevantes con muchos datos.
• El percentil describe posición relativa DENTRO de la muestra: comparar percentiles entre grupos exige que sean comparables (misma variable, misma referencia).

Ecuaciones

el percentil como inversa de F

$$P_p = F^{-1}(p/100)$$

el valor donde la proporción acumulada alcanza p/100: fijas el nivel, obtienes el umbral — la inversa de la función de distribución empírica.

generaliza cuartiles y mediana

$$P_{50} = \text{mediana}, \; P_{25} = Q_1, \; P_{75} = Q_3$$

mediana, cuartiles y deciles son percentiles particulares: un solo concepto para todos los cortes posicionales de los datos.

la lectura inversa

$$\text{rango percentil}(v) = 100 \cdot F(v)$$

fijas un valor y obtienes su posición: '¿en qué percentil está?' — lo que usan las tablas de crecimiento y los exámenes estandarizados.

Intuición

El percentil es la respuesta a '¿dónde me ubico?' sin necesidad de saber cuánto valen los demás en términos absolutos: basta con cuántos están por debajo. Esa es su magia y su trampa. Su magia: hace comparables cosas de escalas distintas (un percentil 90 en matemáticas y un percentil 90 en lectura significan lo mismo —mejor que el 90%— aunque los puntajes brutos no se parezcan) y es inmune a los outliers (mover al más alto no cambia tu percentil). Su trampa: al medir posición y no magnitud, esconde las distancias —subir del percentil 50 al 60 puede requerir muchísimo más esfuerzo que del 89 al 90, según cómo se apiñen los datos—, y en distribuciones muy desiguales (ingresos) percentiles vecinos pueden separar mundos enteros. La lección para leer datos con percentiles: son perfectos para UBICAR y COMPARAR posiciones, pero para hablar de CUÁNTO —cuánta desigualdad, cuánta mejora— hay que volver a las magnitudes (la razón entre percentiles, como el decil 90/10 de e25, o directamente los valores).

Limitaciones

• Posicional, no de magnitud: ignora las distancias entre valores; dos datos en el mismo percentil pueden diferir mucho en valor absoluto.
• Depende de la muestra de referencia: un percentil solo tiene sentido respecto a una población concreta; comparar percentiles de poblaciones distintas puede engañar.
• Interpolación con n pequeño: distintas convenciones dan percentiles algo distintos; y con muy pocos datos los percentiles extremos son inestables.

Qué viene después

Generalizan los cuartiles (e23) y la mediana (e18) a cualquier corte, y se especializan en deciles (e25). Son la base del Valor-en-Riesgo, de las tablas de crecimiento y de los rankings. La transformación a percentiles (o a rangos) reaparece en las pruebas no paramétricas (e116-e119, que trabajan con rangos en vez de valores) y en la estandarización robusta. Conectan la descriptiva con la idea de distribución que abre la probabilidad (sección III).

Fuentes y procedencia

Los percentiles y el análisis por cuantiles: Francis Galton (rangos y cuantiles, s. XIX) — mención histórica. Conocimiento estadístico general.

Procedencia: sin procedencia declarada. El modelo pasa 4 verificaciones numéricas en el laboratorio (python3 main.py verificar); es un modelo pedagógico, no un pronóstico.

Código

El cálculo es el mismo que el del laboratorio de escritorio (licencia MPL-2.0): estadistica/modelos/nivel_02/e24_percentiles.py, sobre el motor base.py y el adaptador navegador.py.