La curtosis (colas pesadas)

Ficha del modelo

Contexto

La curtosis mide algo que ni el centro, ni la dispersión, ni la asimetría capturan: cuán PESADAS son las colas de la distribución, es decir, con qué frecuencia aparecen valores extremos. Es el cuarto momento estandarizado, γ₂ = E[(X−μ)⁴]/σ⁴; elevar las desviaciones a la CUARTA potencia amplifica los valores lejanos todavía más que el cuadrado de la varianza, de modo que la curtosis está dominada por lo que pasa en los extremos. La distribución normal tiene curtosis exactamente 3, y por eso se define el EXCESO de curtosis como γ₂ − 3: mide cuánto más (o menos) pesadas son las colas comparadas con las de una normal. Un exceso positivo (distribución LEPTOCÚRTICA) significa colas pesadas: los eventos extremos son mucho más frecuentes de lo que la normal predice. Un exceso negativo (platicúrtica) significa colas ligeras, casi acotadas (la uniforme es el ejemplo). Y aquí está la lección más cara de toda la estadística aplicada: los retornos financieros tienen colas PESADAS. Los crashes, las crisis, los días de −20% ocurren muchísimo más seguido que lo que un modelo gaussiano supone —un movimiento que la normal declara imposible una vez cada varios milenios ocurre cada pocos años—. Los modelos de riesgo que asumieron normalidad (y subestimaron las colas) están detrás de desastres como el colapso de LTCM (1998) y la crisis de 2008: no vieron venir los 'cisnes negros' porque sus modelos los declaraban casi imposibles. La curtosis es, entonces, la medida del riesgo de catástrofe, y la razón por la que en finanzas y en gestión de riesgo se usan distribuciones de colas pesadas (t de Student, leyes de potencia) en lugar de la cómoda normal. Nota importante: la curtosis mide colas, NO 'picudez' —un mito común es que mide cuán puntiaguda es la distribución; en realidad, colas y pico están relacionados, pero lo que la curtosis captura es el peso de los extremos—.

Supuestos

• Datos cuantitativos; la curtosis usa el cuarto momento, dominado por los extremos, así que necesita MUCHOS datos para estimarse con fiabilidad.
• El exceso se define respecto a la normal (curtosis 3): 'colas pesadas' significa 'más pesadas que una gaussiana', no en abstracto.
• La curtosis mide el peso de las COLAS (frecuencia de extremos), no la 'picudez' del centro (un malentendido común); ambas cosas correlacionan pero no son lo mismo.

Ecuaciones

curtosis (4º momento estandarizado)

$$\gamma_2 = \frac{E[(X-\mu)^4]}{\sigma^4}$$

el promedio de las desviaciones a la CUARTA, estandarizado: la cuarta potencia amplifica los extremos, así que γ₂ mide el peso de las colas.

exceso sobre la normal

$$\text{exceso} = \gamma_2 - 3$$

se resta la curtosis de la normal (3): el exceso mide cuánto más pesadas son las colas que en una gaussiana — positivo = más eventos extremos.

colas pesadas = riesgo

$$\text{exceso} > 0 \Rightarrow \text{cisnes negros}$$

colas pesadas significan que los extremos ocurren mucho más seguido que lo que la normal predice: el riesgo de catástrofe que los modelos gaussianos subestiman.

Intuición

La curtosis es la medida de 'lo que puede salir muy mal'. Dos inversiones con el mismo retorno promedio y la misma volatilidad (desviación) pueden ser radicalmente distintas si una tiene colas pesadas: esa producirá, de vez en cuando, un desastre que la otra nunca vería. La desviación estándar te dice cómo se mueven las cosas en un día normal; la curtosis te advierte sobre los días ANORMALES. La gran lección —aprendida a golpes por el sistema financiero— es que el mundo real tiene colas mucho más gordas que la cómoda campana de Gauss: los terremotos, las crisis, las pandemias, los éxitos virales y los fraudes viven en las colas, y un modelo que las supone finas está ciego justamente ante lo que más importa. Por eso Nassim Taleb popularizó los 'cisnes negros': eventos que los modelos declaran casi imposibles pero que definen la historia. La estadística madura respeta las colas: usa distribuciones de colas pesadas cuando corresponde, no confía en la normalidad por comodidad, y recuerda que la curtosis muestral es traicionera —depende de unos pocos extremos, así que con pocos datos puede engañar en cualquier dirección—. Ver la curtosis es, en el fondo, tener humildad ante lo raro: aceptar que lo que no ha pasado todavía puede pasar, y más seguido de lo que la campana promete.

Limitaciones

• Muy poco robusta y ávida de datos: al elevar a la cuarta, unos pocos outliers dominan la curtosis muestral, que con n pequeño es sumamente inestable.
• Mide colas, no 'picudez': interpretarla como cuán puntiaguda es la distribución es un error común; captura el peso de los extremos.
• Un solo número global: no distingue si las colas pesadas están a la izquierda, a la derecha o en ambas (para eso, mirar la distribución completa y la asimetría e30).

Qué viene después

Completa las medidas de FORMA con la asimetría (e30): asimetría (3er momento) para la dirección de la cola, curtosis (4º momento) para su peso. Motiva las distribuciones de colas pesadas frente a la normal (e58): la t de Student (e62), las leyes de potencia, y toda la gestión de riesgo. Su lección —no confiar en la normalidad— reaparece en las pruebas de normalidad (e120-e122) y en el riesgo financiero (VaR, e24, y sus fallos). Con e30-e31, la descriptiva describe la distribución completa: centro, dispersión, forma y rarezas — lista para la probabilidad (sección III).

Fuentes y procedencia

Los momentos y la curtosis: Karl Pearson (quien acuñó 'curtosis', 1905); la crítica a la normalidad en finanzas y las colas pesadas: Mandelbrot (1963), Taleb (cisnes negros) — menciones. Conocimiento estadístico general.

Procedencia: sin procedencia declarada. El modelo pasa 4 verificaciones numéricas en el laboratorio (python3 main.py verificar); es un modelo pedagógico, no un pronóstico.

Código

El cálculo es el mismo que el del laboratorio de escritorio (licencia MPL-2.0): estadistica/modelos/nivel_02/e31_curtosis.py, sobre el motor base.py y el adaptador navegador.py.