La probabilidad frecuentista (Monte Carlo)

Ficha del modelo

Contexto

La definición clásica (e37) es elegante pero frágil: se rompe en cuanto los resultados no son equiprobables (un dado cargado, la probabilidad de que llueva mañana, de que un paciente sane) o no se pueden enumerar. La definición FRECUENTISTA rescata todos esos casos con una idea sencilla y poderosa, la misma que vimos estabilizarse en e34: la probabilidad de un evento es el valor al que tiende su frecuencia relativa cuando el experimento se repite indefinidamente, P(A) = lím (#éxitos / n). En la práctica no se puede repetir infinitas veces, así que se ESTIMA con muchas: la frecuencia observada en n ensayos es un estimador de la probabilidad verdadera. Esta es la definición operativa que usan las aseguradoras (estiman P(accidente) con millones de pólizas), los epidemiólogos (P(complicación) con datos de pacientes) y cualquiera que mida una probabilidad en el mundo real. Su encarnación computacional es la SIMULACIÓN DE MONTE CARLO, una de las herramientas más importantes de la ciencia moderna: para estimar una probabilidad —o un área, o una integral, o el resultado de un sistema complejo— se simula el experimento miles o millones de veces y se cuenta. El modelo lo muestra estimando π: se tiran dardos al azar en un cuadrado, y como la probabilidad de caer dentro del cuarto de círculo inscrito es exactamente su área, π/4, la fracción de dardos dentro, multiplicada por 4, estima π —sin usar geometría, solo contando—. Pero el modelo enseña también la gran LIMITACIÓN de Monte Carlo, que hay que respetar: la convergencia es LENTA. El error de la estimación decrece como 1/√n, lo que significa que para DUPLICAR la precisión (un dígito más) hace falta CUADRUPLICAR —en realidad, multiplicar por 100 para cada dígito decimal— el número de simulaciones. Estimar π a tres decimales por Monte Carlo requiere millones de dardos; a seis, sería inviable. Esta tasa 1/√n no es un defecto del método sino una ley profunda —la misma que gobierna el error estándar (e89) y el teorema central del límite (e67)—: la precisión estadística es cara, y comprar cada dígito extra cuesta cien veces más datos. Frecuentismo y clasicismo no compiten: cuando ambos aplican, coinciden (la fracción de dardos confirma el área π/4); el frecuentismo simplemente extiende la probabilidad a donde contar no llega.

Supuestos

• El experimento es repetible en condiciones iguales y los ensayos son independientes (e41): la frecuencia converge a la probabilidad (ley de los grandes números, e64).
• La estimación tiene error ~1/√n: es INSESGADA pero de convergencia LENTA; la precisión exige muchísimos ensayos (cada dígito, ~100× más).
• Monte Carlo requiere un buen generador de números aleatorios y saber traducir el problema a un experimento simulable (contar éxitos sobre ensayos).

Ecuaciones

definición frecuentista

$$P(A) = \lim_{n\to\infty} \frac{\#\,\text{éxitos}}{n}$$

la probabilidad es el límite de la frecuencia relativa: se estima repitiendo el experimento, sin necesidad de equiprobabilidad ni de contar.

estimación por simulación

$$\hat P = \frac{\#\,\text{éxitos}}{n}, \quad \text{error} \sim \frac{1}{\sqrt{n}}$$

la frecuencia observada estima P; el error decrece como 1/√n — lento: cada dígito extra de precisión cuesta ~100 veces más ensayos.

Monte Carlo de π

$$\hat\pi = 4 \times \frac{\#\,\text{dardos en el círculo}}{n}$$

como P(dardo en el círculo)=π/4, la fracción por 4 estima π: simular resuelve lo que contar no puede — el motor de la estadística computacional.

Intuición

La probabilidad frecuentista es la que le da los pies en la tierra a la probabilidad: cuando no puedes razonar la respuesta, la MIDES repitiendo. Es la definición del experimentador, del actuario, del que corre simulaciones. Monte Carlo es su superpoder: convierte problemas de matemática pura (¿cuánto vale esta integral imposible? ¿cuál es la probabilidad de que este sistema de mil piezas falle?) en algo tan simple como tirar dardos y contar. Por eso es omnipresente en física, finanzas, ingeniería e inteligencia artificial. Pero su lección más honesta es la del costo: la tasa 1/√n es implacable. Estimar algo a un decimal es barato; a dos, cien veces más caro; a tres, diez mil veces. Esta 'maldición de la raíz de n' es una de las verdades más importantes y menos apreciadas de la estadística, y aparece en todas partes: es la razón por la que las encuestas grandes no son mucho mejores que las medianas (duplicar la muestra solo mejora el margen de error en un factor √2), por la que el error estándar de la media es σ/√n (e89), y por la que la estadística siempre tiene que elegir entre precisión y costo. Entender que la información crece con la raíz del esfuerzo, no linealmente, es entender por qué la certeza absoluta es inalcanzable y por qué hay que aprender a decidir bajo incertidumbre —de lo que trata el resto de la estadística—.

Limitaciones

• Convergencia LENTA (1/√n): cada dígito extra de precisión cuesta ~100× más simulaciones — Monte Carlo es versátil pero caro en precisión.
• Requiere repetibilidad e independencia: eventos únicos o irrepetibles (¿probabilidad de que este candidato gane esta elección específica?) no tienen frecuencia de largo plazo — ahí el enfoque bayesiano (e161) es más natural.
• La estimación es aleatoria: dos corridas dan resultados algo distintos; hay que reportar la incertidumbre de la propia estimación (intervalo de confianza, e92).

Qué viene después

Formaliza la convergencia vista en e34 como DEFINICIÓN de probabilidad y como método de ESTIMACIÓN (Monte Carlo), rescatando los casos que la clásica (e37) no cubre. La tasa 1/√n anticipa el error estándar (e89) y el TCL (e67). Monte Carlo es el motor de toda la estadística computacional: bootstrap (e174), integración, MCMC bayesiano (e170). El contraste frecuentista vs. la probabilidad de eventos únicos abre, más adelante, el debate con el enfoque bayesiano (e161).

Fuentes y procedencia

La definición frecuentista: John Venn (1866), Richard von Mises (1919); Monte Carlo: Stanislaw Ulam y John von Neumann (Los Álamos, 1940s), bautizado por el casino — menciones. Conocimiento estadístico general.

Procedencia: sin procedencia declarada. El modelo pasa 4 verificaciones numéricas en el laboratorio (python3 main.py verificar); es un modelo pedagógico, no un pronóstico.

Código

El cálculo es el mismo que el del laboratorio de escritorio (licencia MPL-2.0): estadistica/modelos/nivel_03/e38_probabilidad_frecuentista.py, sobre el motor base.py y el adaptador navegador.py.