El teorema central del límite

Ficha del modelo

Contexto

Abraham de Moivre descubrió en 1733 que el número de caras en muchos lanzamientos de una moneda se distribuye según una curva en forma de campana; Pierre-Simon Laplace lo generalizó en 1810 a sumas de variables cualesquiera, y la prueba rigurosa llegó con Lyapunov (1901) y Lindeberg (1922). El resultado explica por qué la normal aparece en todas partes: muchas magnitudes son sumas o promedios de muchos efectos pequeños e independientes. En la práctica es el teorema que sostiene casi toda la inferencia clásica: los intervalos de confianza y las pruebas sobre una media usan la normal aunque nadie sepa la forma de la población, porque lo que se distribuye como normal es la media, no los datos. El modelo lo pone a prueba con una población deliberadamente asimétrica (una gamma, como el ingreso o el tiempo de espera) y deja ver cuánto tarda la media en «olvidar» esa forma.

Supuestos

• Observaciones independientes e idénticamente distribuidas (muestreo aleatorio con reposición o población grande).
• La población tiene varianza finita: sin ella (Cauchy, colas muy pesadas) el teorema no se cumple.
• El resultado es asintótico: dice a dónde va la distribución de X cuando n crece, no cuán cerca está con un n dado.
• La población del modelo es una gamma de media 1 y varianza 1/k: la forma k controla su asimetría (2/√k).

Ecuaciones

momentos de la media

$$E[\bar X] = \mu, \quad \operatorname{Var}(\bar X) = \frac{\sigma^2}{n}$$

valen para cualquier población con varianza finita y cualquier n: la media muestral está centrada en μ y su dispersión cae con la raíz de n (el error estándar σ/√n).

teorema central del límite

$$\frac{\bar X - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \xrightarrow{d} N(0, 1)$$

la media tipificada converge en distribución a la normal estándar, sea cual sea la forma de la población: la campana es un destino, no un supuesto.

velocidad de convergencia

$$\text{asimetría}(\bar X) = \frac{2}{\sqrt{k\,n}}$$

en la población gamma la asimetría de X es la de la población dividida por √n: cuanto más sesgada la población, más grande tiene que ser n para que la normal sea una buena aproximación.

Intuición

Al promediar, los valores extremos de un lado se compensan con los del otro: la media de muchas observaciones casi nunca es extrema aunque cada observación pueda serlo. Esa compensación borra poco a poco la forma de la población —su asimetría se divide por √n— y lo que queda es la campana. Por eso una encuestadora puede dar un margen de error con la normal sin conocer la distribución del ingreso: lo que se comporta como normal es el promedio de la muestra. Pero el teorema no regala nada: con una población muy sesgada la media tarda en normalizarse, y la famosa «regla de n ≥ 30» puede quedarse corta.

Limitaciones

• Es asintótico: no dice qué n basta; con poblaciones muy asimétricas o con colas pesadas hacen falta muestras grandes, y la «regla de 30» es solo una costumbre.
• Exige independencia y varianza finita: con datos dependientes (series de tiempo, conglomerados) o colas muy pesadas, la normal de X falla o necesita otra versión del teorema.
• Habla de la media (o de sumas), no de los datos: la población sigue siendo asimétrica aunque X sea casi normal.
• La simulación usa un número finito de muestras: el histograma tiene ruido propio, que baja con más muestras simuladas.

Qué viene después

Parte de la ley de los grandes números (e64: X → μ) y le añade la forma de la fluctuación alrededor de μ. Funda el error estándar (e89), los intervalos de confianza (e92) y las pruebas sobre medias (sección VIII); el bootstrap (e174) es la salida cuando la aproximación normal no es fiable.

Fuentes y procedencia

De Moivre (1733), Laplace (1810), Lyapunov (1901), Lindeberg (1922) — menciones. Conocimiento estadístico general.

Procedencia: sin procedencia declarada. El modelo pasa 5 verificaciones numéricas en el laboratorio (python3 main.py verificar); es un modelo pedagógico, no un pronóstico.

Código

El cálculo es el mismo que el del laboratorio de escritorio (licencia MPL-2.0): estadistica/modelos/nivel_05/e67_teorema_central_limite.py, sobre el motor base.py y el adaptador navegador.py.